भौमितिक मार्ग आणि झाडे

हा लेख लिहिताना, मला Jan Pietrzak यांचे एक जुने गाणे आठवले, जे त्यांनी कॅबरे Pod Egidą मधील त्यांच्या व्यंगात्मक क्रियाकलापापूर्वी गायले होते, पोलिश पीपल्स रिपब्लिकमध्ये सुरक्षा झडप म्हणून ओळखले जाते; सिस्टमच्या विरोधाभासांवर प्रामाणिकपणे हसता येईल. या गाण्यात, लेखकाने समाजवादी राजकीय सहभागाची शिफारस केली आहे, ज्यांना अराजकीय बनायचे आहे त्यांची खिल्ली उडवली आहे आणि वृत्तपत्रातील रेडिओ बंद केला आहे. “शालेय वाचनात परत जाणे चांगले आहे,” तत्कालीन XNUMX-वर्षीय पेटशाकने उपरोधिकपणे गायले.

मी परत शाळेच्या वाचनात जात आहे. श्चेपन येलेन्स्की (1881-1949) "लीलावती" हे पुस्तक मी (पहिल्यांदाच नाही) पुन्हा वाचत आहे. काही वाचकांसाठी, शब्द स्वतःच काहीतरी सांगतो. हे भास्कर (1114-1185) म्हणून ओळखल्या जाणार्‍या प्रसिद्ध हिंदू गणितज्ञांच्या मुलीचे नाव आहे, ज्याचे नाव अकरिया आहे, किंवा त्या नावाने बीजगणितावरील आपल्या पुस्तकाचे शीर्षक आहे. लीलावती नंतर स्वत: एक प्रसिद्ध गणितज्ञ आणि तत्त्वज्ञ बनल्या. इतरांच्या मते, तिनेच हे पुस्तक स्वतः लिहिले होते.

Szczepan Yelensky यांनी त्यांच्या गणितावरील पुस्तकाला हेच शीर्षक दिले (पहिली आवृत्ती, 1926). या पुस्तकाला गणितीय कार्य म्हणणे देखील कठीण असू शकते - हे कोडींचा अधिक संच होता आणि मोठ्या प्रमाणात फ्रेंच स्त्रोतांकडून पुन्हा लिहिलेले होते (आधुनिक अर्थाने कॉपीराइट अस्तित्वात नव्हते). कोणत्याही परिस्थितीत, बर्याच वर्षांपासून हे गणितावरील एकमेव लोकप्रिय पोलिश पुस्तक होते - नंतर जेलेन्स्कीचे दुसरे पुस्तक, पायथागोरसचे स्वीट्स, त्यात जोडले गेले. त्यामुळे गणितात स्वारस्य असलेल्या तरुणांना (जे मी एकेकाळी होते तेच) निवडण्यासाठी काहीही नव्हते ...

दुसरीकडे, "लीलावती" जवळजवळ मनापासून ओळखायची होती... अहो, असे काही वेळा होते... त्यांचा सर्वात मोठा फायदा म्हणजे मी... तेव्हा किशोरवयीन होतो. आज, एका सुशिक्षित गणितज्ञाच्या दृष्टिकोनातून, मी लीलावतीकडे पूर्णपणे वेगळ्या प्रकारे पाहतो - कदाचित श्पिग्लासोवा प्शेलेंचच्या मार्गाच्या वळणावर असलेल्या गिर्यारोहकाप्रमाणे. एक किंवा दुसरा कोणीही त्याचे आकर्षण गमावत नाही ... त्याच्या वैशिष्ट्यपूर्ण शैलीत, श्चेपन येलेन्स्की, जो आपल्या वैयक्तिक जीवनात तथाकथित राष्ट्रीय कल्पनांचा दावा करतो, तो प्रस्तावनेत लिहितो:

राष्ट्रीय वैशिष्ट्यांच्या वर्णनाला स्पर्श न करता, मी म्हणेन की नव्वद वर्षांनंतरही, येलेन्स्कीचे गणिताबद्दलचे शब्द त्यांचे प्रासंगिकता गमावलेले नाहीत. गणित तुम्हाला विचार करायला शिकवते. ती वस्तुस्थिती आहे. आम्ही तुम्हाला वेगळ्या पद्धतीने, अधिक सोप्या पद्धतीने आणि अधिक सुंदरपणे विचार करायला शिकवू शकतो का? कदाचित. हे फक्त... आम्ही अजूनही करू शकत नाही. ज्या विद्यार्थ्यांना गणित करायचे नाही त्यांना मी समजावून सांगतो की ही त्यांच्या बुद्धिमत्तेचीही परीक्षा आहे. जर तुम्ही खरोखर साधे गणित सिद्धांत शिकू शकत नसाल, तर... कदाचित तुमची मानसिक क्षमता आम्हा दोघांना आवडेल त्यापेक्षा वाईट असेल...?

वाळू मध्ये चिन्हे

आणि येथे "लायलावती" मधील पहिली कथा आहे - फ्रेंच तत्ववेत्ता जोसेफ डी मेस्त्रे (1753-1821) यांनी वर्णन केलेली कथा.

उध्वस्त झालेल्या जहाजातील खलाशी लाटांद्वारे रिकाम्या किनाऱ्यावर फेकले गेले, ज्याला त्याने निर्जन मानले. अचानक, किनार्‍याच्या वाळूत, त्याला कोणाच्यातरी समोर रेखाटलेल्या भौमितिक आकृतीचा ट्रेस दिसला. तेव्हाच त्याच्या लक्षात आले की हे बेट निर्जन नाही!

डी मेस्त्रीचा हवाला देत येलेन्स्की लिहितात: भौमितिक आकृतीहे दुर्दैवी, जहाज कोसळलेल्या, योगायोगासाठी एक निःशब्द अभिव्यक्ती असेल, परंतु त्याने त्याला एका दृष्टीक्षेपात प्रमाण आणि संख्या दर्शविली आणि यामुळे एका ज्ञानी माणसाची घोषणा झाली. इतिहासासाठी खूप काही.

लक्षात घ्या की खलाशी समान प्रतिक्रिया देईल, उदाहरणार्थ, अक्षर K, ... आणि एखाद्या व्यक्तीच्या उपस्थितीचे कोणतेही इतर ट्रेस काढल्याने. येथे भूमिती आदर्श आहे.

तथापि, खगोलशास्त्रज्ञ कॅमिली फ्लामॅरियन (1847-1925) यांनी असा प्रस्ताव दिला की सभ्यता भूमिती वापरून एकमेकांना दूरवरून अभिवादन करतात. संप्रेषणाचा एकमेव योग्य आणि संभाव्य प्रयत्न त्यांनी यात पाहिला. चला अशा मंगळांना पायथागोरियन त्रिकोण दाखवूया... ते आम्हाला थॅलेसने उत्तर देतील, आम्ही त्यांना व्हिएटा पॅटर्नने उत्तर देऊ, त्यांचे वर्तुळ त्रिकोणात बसेल, त्यामुळे मैत्री सुरू झाली...

ज्युल्स व्हर्न आणि स्टॅनिस्लाव लेम सारखे लेखक या कल्पनेकडे परत आले. आणि 1972 मध्ये, पायोनियर प्रोबच्या बोर्डवर भौमितिक (आणि केवळ नाही) नमुन्यांची टाइल्स ठेवली गेली, जी अजूनही अंतराळाच्या विस्ताराला ओलांडते, आता आपल्यापासून जवळजवळ 140 खगोलीय एकके आहेत (1 I पृथ्वीपासून पृथ्वीचे सरासरी अंतर आहे) . सूर्य, म्हणजे सुमारे 149 दशलक्ष किमी). टाइलची रचना, अंशतः, खगोलशास्त्रज्ञ फ्रँक ड्रेक यांनी केली होती, ज्याने अलौकिक संस्कृतींच्या संख्येवरील विवादास्पद नियमाचा निर्माता आहे.

भूमिती अप्रतिम आहे. या विज्ञानाच्या उत्पत्तीबद्दलचा सर्वसाधारण दृष्टिकोन आपल्या सर्वांना माहीत आहे. आम्ही (आम्ही मानवांनी) अगदी उपयुक्ततावादी हेतूने जमिनीचे (आणि नंतर जमिनीचे) मोजमाप करायला सुरुवात केली आहे. अंतर निश्चित करणे, सरळ रेषा काढणे, काटकोन चिन्हांकित करणे आणि खंडांची गणना करणे हळूहळू आवश्यक बनले. त्यामुळे संपूर्ण गोष्ट भूमिती ("पृथ्वीचे मोजमाप"), म्हणून सर्व गणिते ...

तथापि, विज्ञानाच्या इतिहासाचे हे स्पष्ट चित्र काही काळ आमच्यावर ढग झाले. कारण जर गणित केवळ ऑपरेशनल उद्देशांसाठी आवश्यक असेल तर आपण साधी प्रमेये सिद्ध करण्यात गुंतले नसतो. “तुम्ही पहात आहात की हे अजिबात खरे असले पाहिजे,” अनेक काटकोन त्रिकोणांमध्ये कर्णाच्या वर्गांची बेरीज कर्णाच्या वर्गाइतकी असते हे तपासल्यानंतर कोणी म्हणेल. असा औपचारिकता का?

प्लम पाई स्वादिष्ट असावी लागते, संगणक प्रोग्रामला काम करावे लागते, मशीनला काम करावे लागते. जर मी बॅरलची क्षमता तीस वेळा मोजली आणि सर्वकाही व्यवस्थित आहे, तर दुसरे का?

यादरम्यान, प्राचीन ग्रीक लोकांना असे घडले की काही औपचारिक पुरावे शोधणे आवश्यक आहे.

तर, गणिताची सुरुवात थेल्सपासून होते (625-547 ईसापूर्व). असे गृहीत धरले जाते की ते मिलेटसनेच का आश्चर्यचकित करण्यास सुरुवात केली. हुशार लोकांसाठी हे पुरेसे नाही की त्यांनी काहीतरी पाहिले आहे, त्यांना काहीतरी खात्री पटली आहे. त्यांना पुराव्याची गरज दिसली, गृहीतकापासून प्रबंधापर्यंत युक्तिवादांचा तार्किक क्रम.

त्यांनाही आणखी हवे होते. कदाचित थॅलेसनेच प्रथम भौतिक घटनांना दैवी हस्तक्षेपाशिवाय नैसर्गिक पद्धतीने स्पष्ट करण्याचा प्रयत्न केला. युरोपियन तत्त्वज्ञानाची सुरुवात निसर्गाच्या तत्त्वज्ञानाने झाली - भौतिकशास्त्राच्या मागे काय आहे (म्हणूनच नाव: मेटाफिजिक्स). परंतु युरोपियन ऑन्टोलॉजी आणि नैसर्गिक तत्त्वज्ञानाचा पाया पायथागोरस (पायथागोरस, c. 580-c. 500 BC) यांनी घातला.

त्याने अपेनिन द्वीपकल्पाच्या दक्षिणेला क्रोटोनमध्ये स्वतःची शाळा स्थापन केली - आज आपण त्याला एक पंथ म्हणू. विज्ञान (शब्दाच्या सध्याच्या अर्थाने), गूढवाद, धर्म आणि कल्पनारम्य हे सर्व एकमेकांशी घट्ट गुंफलेले आहेत. डॉक्टर फॉस्टस या कादंबरीत थॉमस मान यांनी जर्मन व्यायामशाळेत गणिताचे धडे अतिशय सुंदरपणे मांडले. मारिया कुरेत्स्काया आणि विटोल्ड विरपशा यांनी अनुवादित केलेला हा तुकडा वाचतो:

चार्ल्स व्हॅन डोरेनच्या द हिस्ट्री ऑफ नॉलेज फ्रॉम द डॉन ऑफ हिस्ट्री टू द प्रेझेंट डे या मनोरंजक पुस्तकात मला एक अतिशय मनोरंजक दृष्टिकोन सापडला. एका अध्यायात, लेखकाने पायथागोरियन शाळेचे महत्त्व वर्णन केले आहे. प्रकरणाचे शीर्षकच मला खूप भावले. त्यात असे लिहिले आहे: "गणिताचा शोध: पायथागोरियन्स".

गणिती सिद्धांत शोधले जात आहेत (उदा. अज्ञात जमीन) किंवा शोध लावला (उदा. पूर्वी अस्तित्वात नसलेली यंत्रे) यावर आपण अनेकदा चर्चा करतो. काही सर्जनशील गणितज्ञ स्वत:ला संशोधक म्हणून पाहतात, तर काही शोधक किंवा डिझाइनर, कमी वेळा काउंटर म्हणून पाहतात.

पण या पुस्तकाचा लेखक सर्वसाधारणपणे गणिताच्या आविष्काराबद्दल लिहितो.

अतिशयोक्तीपासून भ्रमाकडे

या प्रदीर्घ प्रास्ताविक भागानंतर, मी अगदी सुरुवातीस पुढे जाईन. भूमितीभूमितीवर जास्त अवलंबून राहणे एखाद्या शास्त्रज्ञाची कशी दिशाभूल करू शकते याचे वर्णन करण्यासाठी. जोहान्स केप्लर हे खगोलीय पिंडांच्या गतीच्या तीन नियमांचे शोधक म्हणून भौतिकशास्त्र आणि खगोलशास्त्रात ओळखले जातात. प्रथम, सूर्यमालेतील प्रत्येक ग्रह सूर्याभोवती लंबवर्तुळाकार कक्षेत फिरतो, ज्याच्या केंद्रस्थानी सूर्य आहे. दुसरे म्हणजे, सूर्यापासून काढलेले ग्रहाचे अग्रगण्य किरण नियमित अंतराने समान क्षेत्रे काढतात. तिसरे म्हणजे, सूर्याभोवती ग्रहाच्या क्रांतीच्या कालावधीचे वर्ग आणि त्याच्या कक्षेच्या अर्ध-प्रमुख अक्षाच्या घनतेचे (म्हणजे सूर्यापासूनचे सरासरी अंतर) हे सौरमालेतील सर्व ग्रहांसाठी स्थिर असते.

कदाचित हा तिसरा नियम होता - तो स्थापित करण्यासाठी भरपूर डेटा आणि गणना आवश्यक होती, ज्यामुळे केप्लरला ग्रहांच्या हालचाली आणि स्थितीत नमुने शोधणे सुरू ठेवण्यास प्रवृत्त केले. त्याच्या नवीन "शोध" चा इतिहास खूप शिकवणारा आहे. पुरातन काळापासून, आम्ही केवळ नियमित पॉलिहेड्राचेच नव्हे तर अंतराळात त्यापैकी फक्त पाच असल्याचे दर्शविणारे युक्तिवाद देखील केले आहेत. त्रिमितीय पॉलीहेड्रॉन जर त्याचे चेहरे समान नियमित बहुभुज असतील आणि प्रत्येक शिरोबिंदूला समान संख्या असेल तर त्याला नियमित म्हणतात. उदाहरणादाखल, नियमित पॉलिहेड्रॉनचा प्रत्येक कोपरा "समान दिसला पाहिजे" सर्वात प्रसिद्ध पॉलीहेड्रॉन घन आहे. प्रत्येकाने एक सामान्य घोटा पाहिला आहे.

नियमित टेट्राहेड्रॉन कमी ज्ञात आहे आणि शाळेत त्याला नियमित त्रिकोणी पिरॅमिड म्हणतात. ते पिरॅमिडसारखे दिसते. उर्वरित तीन नियमित पॉलिहेड्रा कमी प्रसिद्ध आहेत. जेव्हा आपण क्यूबच्या कडांच्या केंद्रांना जोडतो तेव्हा एक अष्टहेड्रॉन तयार होतो. डोडेकाहेड्रॉन आणि आयकोसेड्रॉन आधीच बॉलसारखे दिसतात. मऊ चामड्यापासून बनवलेले, ते खोदण्यास सोयीस्कर असतील. पाच प्लॅटोनिक घन पदार्थांव्यतिरिक्त कोणतेही नियमित पॉलीहेड्रा नसतात हा तर्क खूप चांगला आहे. प्रथम, आपल्या लक्षात येते की जर शरीर नियमित असेल, तर समान नियमित बहुभुजांची समान संख्या (क्यु) प्रत्येक शिरोबिंदूवर एकत्र आली पाहिजे, हे p-कोन असू द्या. आता आपल्याला नेहमीच्या बहुभुजातील कोन काय आहे हे लक्षात ठेवण्याची गरज आहे. जर एखाद्याला शाळेतून आठवत नसेल, तर आम्ही तुम्हाला योग्य नमुना कसा शोधायचा याची आठवण करून देतो. आम्ही कोपऱ्यात फेरफटका मारला. प्रत्येक शिरोबिंदूवर आपण समान कोनातून वळतो a. जेव्हा आपण बहुभुजाभोवती फिरतो आणि सुरुवातीच्या बिंदूकडे परत जातो तेव्हा आपण p अशी वळणे केली आहेत आणि एकूण आपण 360 अंश वळलो आहोत.

परंतु α हा आपल्याला ज्या कोनाची गणना करायची आहे त्याचे 180 अंश पूरक आहे आणि म्हणून आहे

आम्हाला नियमित बहुभुजाच्या कोनाचे सूत्र (गणितज्ञ म्हणेल: कोनाचे मोजमाप) सापडले आहे. चला तपासूया: त्रिकोण p = 3 मध्ये, a नाही

याप्रमाणे. जेव्हा p = 4 (चौरस), नंतर

डिग्री पण ठीक आहे.

पेंटॅगॉनसाठी आम्हाला काय मिळेल? तर काय होते जेव्हा q बहुभुज असतात, प्रत्येक p ला समान कोन असतात

 एका शिरोबिंदूवर उतरणारे अंश? जर ते विमानात असेल तर एक कोन तयार होईल

अंश आणि 360 अंशांपेक्षा जास्त असू शकत नाही - कारण नंतर बहुभुज ओव्हरलॅप होतात.

तथापि, हे बहुभुज अवकाशात भेटत असल्याने, कोन पूर्ण कोनापेक्षा कमी असणे आवश्यक आहे.

आणि येथे असमानता आहे ज्यातून हे सर्व घडते:

त्याला 180 ने भागा, दोन्ही भागांना p ने गुणा, क्रम (p-2) (q-2) < 4. पुढील काय? चला लक्षात ठेवा की p आणि q नैसर्गिक संख्या असणे आवश्यक आहे आणि p > 2 (का? आणि p म्हणजे काय?) आणि q > 2 देखील. दोन नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकार 4 पेक्षा कमी करण्याचे बरेच मार्ग नाहीत. आपण टेबल 1 मध्ये त्या सर्वांची यादी करू.

मी रेखाचित्रे पोस्ट करत नाही, प्रत्येकजण इंटरनेटवर हे आकडे पाहू शकतो... इंटरनेटवर... मी गीतात्मक विषयांतर नाकारणार नाही - कदाचित ते तरुण वाचकांसाठी मनोरंजक असेल. 1970 मध्ये मी एका सेमिनारमध्ये बोललो होतो. विषय अवघड होता. माझ्याकडे तयारीसाठी थोडा वेळ होता, मी संध्याकाळी बसलो. मुख्य लेख जागेवर फक्त वाचनीय होता. ठिकाण आरामदायक होते, कार्यरत वातावरणासह, ते सात वाजता बंद झाले. मग वधूने (आता माझी पत्नी) स्वतः माझ्यासाठी संपूर्ण लेख पुन्हा लिहिण्याची ऑफर दिली: सुमारे डझनभर मुद्रित पृष्ठे. मी ते कॉपी केले (नाही, क्विल पेनने नाही, आमच्याकडे पेन देखील होते), व्याख्यान यशस्वी झाले. आज मी हे प्रकाशन शोधण्याचा प्रयत्न केला, जे आधीच जुने आहे. मला फक्त लेखकाचे नाव आठवते... इंटरनेटवर शोध बराच वेळ चालला... पूर्ण पंधरा मिनिटे. मी त्याबद्दल हसत हसत आणि थोडा अन्यायकारक खेद व्यक्त करतो.

आम्ही परत जातो केपलेरा आणि भूमिती. वरवर पाहता, प्लेटोने पाचव्या नियमित स्वरूपाच्या अस्तित्वाचा अंदाज लावला कारण त्याच्याकडे सर्व जग व्यापून टाकणारे एकीकरण करणारे काहीतरी नव्हते. कदाचित म्हणूनच त्याने एका विद्यार्थिनीला (थेजटेट) तिला शोधण्याची सूचना केली. जसे ते होते, तसे ते होते, ज्याच्या आधारे डोडेकाहेड्रॉनचा शोध लागला. प्लेटोच्या या वृत्तीला आपण सर्वधर्मसमभाव म्हणतो. न्यूटनपर्यंत सर्व शास्त्रज्ञ कमी-अधिक प्रमाणात याला बळी पडले. अठराव्या शतकापासून अत्यंत तर्कसंगतपणे, त्याचा प्रभाव खूपच कमी झाला आहे, जरी आपण सर्वजण कोणत्या ना कोणत्या मार्गाने त्यास बळी पडतो याची आपल्याला लाज वाटू नये.

केप्लरच्या सूर्यमालेच्या निर्मितीच्या संकल्पनेत, सर्व काही बरोबर होते, प्रायोगिक डेटा सिद्धांताशी एकरूप होता, सिद्धांत तार्किकदृष्ट्या सुसंगत होता, अतिशय सुंदर ... परंतु पूर्णपणे खोटा होता. त्याच्या काळात, फक्त सहा ग्रह ज्ञात होते: बुध, शुक्र, पृथ्वी, मंगळ, गुरु आणि शनि. फक्त सहा ग्रह का आहेत? केपलरने विचारले. आणि कोणती नियमितता सूर्यापासून त्यांचे अंतर निर्धारित करते? त्याने असे गृहीत धरले की सर्वकाही जोडलेले आहे, ते भूमिती आणि विश्वशास्त्र एकमेकांशी जवळचे संबंध आहेत. प्राचीन ग्रीकांच्या लिखाणावरून, त्याला माहित होते की तेथे फक्त पाच नियमित पॉलिहेड्रा आहेत. त्याने पाहिले की सहा प्रदक्षिणांमध्‍ये पाच रिक्त जागा आहेत. तर कदाचित यापैकी प्रत्येक मोकळी जागा काही नियमित पॉलिहेड्रॉनशी संबंधित असेल?

अनेक वर्षांच्या निरीक्षण आणि सैद्धांतिक कार्यानंतर, त्याने खालील सिद्धांत तयार केला, ज्याच्या मदतीने त्याने कक्षाच्या परिमाणांची अचूक गणना केली, जी त्याने 1596 मध्ये प्रकाशित "मिस्टेरियम कॉस्मोग्राफिकम" या पुस्तकात सादर केली: एक विशाल गोलाची कल्पना करा, ज्याचा व्यास हा बुध ग्रहाच्या सूर्याभोवतीच्या वार्षिक गतीच्या कक्षेचा व्यास आहे. मग कल्पना करा की या गोलावर एक नियमित अष्टाध्वनी आहे, त्यावर एक गोल आहे, त्यावर एक आयकोसेड्रॉन आहे, त्यावर पुन्हा एक गोल आहे, त्यावर एक डोडेकाहेड्रॉन आहे, त्यावर दुसरा गोल आहे, त्यावर एक टेट्राहेड्रॉन आहे, त्यानंतर पुन्हा एक गोल आहे, एक घन आहे. आणि, शेवटी, या क्यूबवर बॉलचे वर्णन केले आहे.

केप्लरने निष्कर्ष काढला की या क्रमिक गोलांचा व्यास हा इतर ग्रहांच्या कक्षेचा व्यास आहे: बुध, शुक्र, पृथ्वी, मंगळ, गुरू आणि शनि. सिद्धांत अगदी अचूक वाटला. दुर्दैवाने, हे प्रायोगिक डेटाशी जुळले. आणि प्रायोगिक डेटा किंवा निरीक्षण डेटा, विशेषत: "स्वर्गातून घेतलेल्या" च्या पत्रव्यवहारापेक्षा गणिताच्या सिद्धांताच्या शुद्धतेचा कोणता पुरावा असू शकतो? मी टेबल 2 मध्ये ही गणना सारांशित करतो. मग केप्लरने काय केले? ते पूर्ण होईपर्यंत मी प्रयत्न केला आणि प्रयत्न केला, म्हणजेच जेव्हा कॉन्फिगरेशन (गोलाकारांचा क्रम) आणि परिणामी गणना निरीक्षण डेटाशी जुळली. येथे आधुनिक केपलर आकडे आणि गणना आहेत:

कोणीही सिद्धांताच्या मोहाला बळी पडू शकतो आणि विश्वास ठेवू शकतो की आकाशातील मोजमाप चुकीची आहेत, कार्यशाळेच्या शांततेत केलेली गणना नाही. दुर्दैवाने, आज आपल्याला माहित आहे की किमान नऊ ग्रह आहेत आणि परिणामांचे सर्व योगायोग केवळ योगायोग आहेत. दया. ते खूप सुंदर होते...