कोरोनाव्हायरस आणि गणित शिक्षण – अंशतः चालू केलेले संग्रह

ज्या विषाणूने आपल्याला संक्रमित केले आहे ते जलद शैक्षणिक सुधारणांना प्रोत्साहन देत आहे. विशेषतः उच्च शिक्षण स्तरावर. या विषयावर दीर्घ निबंध लिहिला जाऊ शकतो; दूरस्थ शिक्षण पद्धतींवर डॉक्टरेट प्रबंधांचा प्रवाह नक्कीच असेल. एका विशिष्ट दृष्टिकोनातून, ही उत्पत्तीकडे परत येणे आणि स्वयं-शिक्षणाच्या विसरलेल्या सवयी आहे. उदाहरणार्थ, क्रेमेनेट्स माध्यमिक शाळेत (क्रेमेनेट्समध्ये, आता युक्रेनमध्ये, जे 1805-31 मध्ये अस्तित्त्वात होते, 1914 पर्यंत वनस्पतिवत् होते आणि 1922-1939 मध्ये त्याचा आनंदाचा दिवस अनुभवला होता) असे होते. विद्यार्थ्यांनी स्वतःहून तेथे अभ्यास केला - ते शिकल्यानंतरच शिक्षक दुरुस्त्या, अंतिम स्पष्टीकरण, कठीण ठिकाणी मदत इत्यादीसह आले. d. जेव्हा मी विद्यार्थी झालो तेव्हा त्यांनी असेही सांगितले की आपण स्वतः ज्ञान मिळवले पाहिजे, विद्यापीठातील वर्ग फक्त ऑर्डर करून पाठवले जाऊ शकतात. पण तेव्हा तो फक्त एक सिद्धांत होता...

2020 च्या वसंत ऋतूमध्ये, खूप काम करून धडे (व्याख्यान, व्यायाम इ.सह) दूरस्थपणे (Google Meet, Microsoft Teams, इ.) अतिशय प्रभावीपणे आयोजित केले जाऊ शकतात हे शोधून काढणारा मी एकटाच नव्हतो. शिक्षकाच्या बाजूने आणि दुसरीकडे फक्त "शिक्षण घेण्याची" इच्छा; पण काही आरामासह: मी घरी, माझ्या खुर्चीत बसलो आहे आणि पारंपारिक व्याख्यानात, विद्यार्थी देखील काहीतरी वेगळे करत होते. अशा प्रशिक्षणाचा परिणाम मध्ययुगीन काळातील पारंपारिक वर्ग-धडा प्रणालीपेक्षाही चांगला असू शकतो. व्हायरस नरकात गेल्यावर त्यात काय उरणार? मला वाटतं... खूप. पण आपण बघू.

आज मी अर्धवट ऑर्डर केलेल्या सेटबद्दल बोलेन. हे सोपं आहे. रिकाम्या नसलेल्या संचातील बायनरी संबंध X असेल तेव्हा त्याला आंशिक क्रम संबंध म्हणतात

(तादेउझ कोतारबिन्स्की, १८८६-१९८१, तत्त्वज्ञ,

1957-1962 मध्ये पोलिश अकादमी ऑफ सायन्सेसचे अध्यक्ष).

1. रिफ्लेक्झिव्ह, म्हणजे प्रत्येकासाठी ∈ आहे “,
2. प्रवासी, i.e. जर ", आणि ", नंतर ",
3. अर्ध-असममितीय, म्हणजे. (“∧“)→ =

पंक्ती हा खालील गुणधर्म असलेला संच आहे: कोणत्याही दोन घटकांसाठी, तो एकतर “किंवा y” चा संच असतो. अँटीचेन आहे...

थांबा, थांबा! यावरून काही समजता येईल का? अर्थातच आहे. पण इथे काय आहे हे वाचकांपैकी कोणीही (ज्यांना माहित नाही) आधीच समजले आहे का?

विचार करू नका! आणि हे गणित शिकवण्याचा सिद्धांत आहे. तसेच शाळेत. प्रथम, एक सभ्य, कठोर व्याख्या, आणि नंतर, जे कंटाळवाणेपणापासून झोपत नाहीत त्यांना नक्कीच काहीतरी समजेल. ही पद्धत "महान" गणित शिक्षकांनी लादली होती. तो व्यवस्थित आणि कडक असावा. शेवटी असेच व्हायला हवे हे खरे. गणित हे अचूक विज्ञान असावे (हे देखील पहा: ).

वॉर्सा विद्यापीठातून निवृत्त झाल्यानंतर मी ज्या विद्यापीठात काम करतो त्या विद्यापीठात मी अनेक वर्षे शिकवले हे मला मान्यच आहे. फक्त त्यात थंड पाण्याची कुप्रसिद्ध बादली होती (ते तशीच राहू द्या: बादलीची गरज होती!). अचानक, उच्च अमूर्तता हलकी आणि आनंददायी झाली. मुद्दा सेट करा: सोपे म्हणजे सोपे नाही. हलक्या वजनाच्या बॉक्सरलाही खूप त्रास होतो.

मी माझ्या आठवणी हसीन. मला त्यावेळच्या संकायच्या डीनने गणिताची मूलतत्त्वे शिकवली होती, एक प्रथम श्रेणीचा गणितज्ञ जो नुकताच युनायटेड स्टेट्समध्ये दीर्घ मुक्काम करून आला होता, जे त्यावेळी स्वतःमध्ये काहीतरी विलक्षण होते. मला वाटते की ती थोडीशी पोलिश विसरली तेव्हा ती थोडी स्नॉबिश होती. तिने जुन्या पोलिश “ते”, “म्हणून”, “अझेल” या शब्दांचा अतिवापर केला आणि “अर्ध-असममित संबंध” ही संज्ञा आणली. मला ते वापरायला आवडते, ते खरोखर अचूक आहे. मला आवडते. पण मी विद्यार्थ्यांकडून अशी मागणी करत नाही. याला सामान्यतः "लो अँटिसिमेट्री" म्हणतात. दहा सुंदर.

फार पूर्वी, कारण सत्तरच्या दशकात (गेल्या शतकाच्या) गणिताच्या शिकवणीत एक मोठी, आनंददायी सुधारणा करण्यात आली होती. हे एडवर्ड गियरेकच्या कारकिर्दीच्या अल्प कालावधीच्या सुरूवातीस जुळले - आपल्या देशाचे जगासाठी एक निश्चित उद्घाटन. "मुलांना उच्च गणित देखील शिकवले जाऊ शकते," ग्रेट टीचर्स उद्गारले. मुलांसाठी "गणिताची मूलभूत तत्त्वे" या विद्यापीठातील व्याख्यानाचा सारांश संकलित करण्यात आला. केवळ पोलंडमध्येच नव्हे तर संपूर्ण युरोपमध्ये हा ट्रेंड होता. समीकरण सोडवणे पुरेसे नव्हते; प्रत्येक तपशील स्पष्ट करणे आवश्यक होते. निराधार होऊ नये म्हणून, प्रत्येक वाचक समीकरणांची प्रणाली सोडवू शकतो:

परंतु विद्यार्थ्यांना प्रत्येक पायरीचे समर्थन करायचे होते, संबंधित विधाने इत्यादींचा संदर्भ घ्यावा लागतो. हे पदार्थापेक्षा अधिक फॉर्मचे उत्कृष्ट प्रमाण होते. माझ्यासाठी आता टीका करणे सोपे आहे. मीही एकेकाळी या दृष्टिकोनाचा समर्थक होतो. गणिताची आवड असलेल्या तरुणांसाठी... हे रोमांचक आहे. हे नक्कीच होते (आणि, लक्ष वेधण्यासाठी, मी).

पण गीतात्मक विषयांतर पुरेसे आहे, चला मुद्द्याकडे जाऊया: एक व्याख्यान जे “सैद्धांतिकदृष्ट्या” द्वितीय वर्षाच्या पॉलिटेक्निकच्या विद्यार्थ्यांसाठी होते आणि ते केले नसते तर नारळाच्या फोडीसारखे कोरडे असते. मी थोडी अतिशयोक्ती करतोय...

तुमच्यासाठी शुभ सकाळ. आजचा विषय अर्धवट शुद्धीकरणाचा आहे. नाही, हा निष्काळजी साफसफाईचा इशारा नाही. टोमॅटो सूप किंवा क्रीम केक: कोणते चांगले आहे याचा विचार करणे अधिक चांगली तुलना होईल. उत्तर स्पष्ट आहे: ते कशावर अवलंबून आहे. मिठाईसाठी - कुकीज आणि पौष्टिक डिशसाठी: सूप.

गणितात आपण संख्या हाताळतो. त्यांना आदेश दिले आहेत: ते मोठे आणि कमी आहेत, परंतु दोन भिन्न संख्यांपैकी, एक नेहमीच कमी असते, याचा अर्थ दुसरा मोठा असतो. ते क्रमाने लावलेले आहेत, जसे की वर्णमालातील अक्षरे. वर्ग लॉगमध्ये, क्रम असा असू शकतो: Adamczyk, Baginskaya, Chojnicki, Derkovsky, Elget, Filipov, Grzecnik, Kholnicki (ते माझ्या वर्गातील मित्र आणि वर्गमित्र आहेत!). आम्हाला यात काही शंका नाही की मॅटुसियाक “माटुशेलियान्स्की” मॅटुझेव्स्की “मॅटिसियाक. "दुहेरी असमानता" च्या चिन्हाचा अर्थ "पूर्व" असा होतो.

माझ्या हायकिंग क्लबमध्ये आम्ही वर्णक्रमानुसार याद्या बनवण्याचा प्रयत्न करतो, परंतु नावानुसार, उदाहरणार्थ अलिना व्रोन्स्का “वारवारा काकझारोव्स्का”, सेझर बौशित्झ इ. अधिकृत अहवालांमध्ये क्रम उलटला जाईल. गणितज्ञ अल्फाबेटिकल ऑर्डरला लेक्सिकोग्राफिकल म्हणतात (कोश हा शब्दकोशासारखा कमी-अधिक प्रमाणात असतो). दुसरीकडे, हा क्रम, ज्यामध्ये दोन भागांचा समावेश असलेल्या नावात (मिचल स्झुरेक, अलिना व्रोन्स्का, स्टॅनिस्लाव स्मार्झिन्स्की) आपण प्रथम दुसरा भाग पाहतो, हा गणितज्ञांसाठी अँटी-लेक्झिकोग्राफिक ऑर्डर आहे. लांब शीर्षके, पण अतिशय सोपी सामग्री.

1. रेखीय क्रम: 1899 मध्ये बांधले गेलेले पोधाले पासून हबोव्का - झाकोपने रेल्वे मार्गावरील स्थानके आणि थांबे (मी संक्षेपांचे डीकोडिंग वाचकावर सोडतो).

अशा सर्व ऑर्डरला लाइन ऑर्डर म्हणतात. आम्ही क्रमाने ऑर्डर करतो: पहिला, दुसरा, तिसरा. पहिल्या बिंदूपासून शेवटपर्यंत सर्व काही व्यवस्थित आहे. याला नेहमीच अर्थ नाही. शेवटी, आम्ही लायब्ररीमध्ये अशा प्रकारे नाही तर विभागांमध्ये पुस्तके व्यवस्था करतो. केवळ विभागामध्ये आम्ही ते रेखीय (सामान्यत: वर्णक्रमानुसार) व्यवस्था करतो.

2. रेखीय क्रम: कार इंजिन सुरू करताना, आम्ही सहमतीनुसार क्रिया करतो.

मोठ्या प्रकल्पांसह, विशेषत: टीमवर्क, आमच्याकडे यापुढे एक रेखीय क्रम नाही. चला एक नजर टाकूया अंजीर 3. आम्हाला एक छोटे हॉटेल बांधायचे आहे. आमच्याकडे आधीच पैसे आहेत (सेल 0). आम्ही परवानग्या तयार करतो, साहित्य गोळा करतो, बांधकाम सुरू करतो आणि त्याच वेळी जाहिरात मोहीम चालवतो, कर्मचारी शोधतो आणि असेच पुढे. जेव्हा आम्ही "10" वर पोहोचतो, तेव्हा पहिले पाहुणे चेक इन करू शकतात (मिस्टर डॉम्ब्रोव्स्की आणि क्राकोच्या उपनगरातील त्यांच्या छोट्या हॉटेलच्या कथांमधून उदाहरण). आमच्याकडे आहे नॉनलाइनर ऑर्डर - काही गोष्टी समांतर घडू शकतात.

अर्थशास्त्रात, तुम्ही गंभीर मार्गाच्या संकल्पनेबद्दल शिकता. हा क्रियांचा एक संच आहे ज्या क्रमाने केल्या पाहिजेत (आणि याला गणितात एक साखळी म्हणतात, यावर एका क्षणात अधिक), आणि ज्यांना जास्त वेळ लागतो. बांधकाम वेळ कमी करणे ही गंभीर मार्गाची पुनर्रचना आहे. परंतु इतर व्याख्यानांमध्ये याबद्दल अधिक (मी तुम्हाला आठवण करून देतो की मी "विद्यापीठ व्याख्यान" देत आहे). आम्ही गणितावर लक्ष केंद्रित करतो.

आकृती 3 सारख्या आकृत्यांना हॅसे आकृत्या म्हणतात (हेल्मट हॅसे, जर्मन गणितज्ञ, 1898-1979). प्रत्येक गुंतागुंतीच्या प्रयत्नांचे नियोजन अशा प्रकारे केले पाहिजे. आपण क्रियांचा क्रम पाहतो: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. गणितज्ञ त्यांना तार म्हणतात. संपूर्ण कल्पनेत चार साखळ्या आहेत. याउलट, क्रियाकलाप गट 1-2-3-4, 5-6-7 आणि 8-9 हे अँटीचेन आहेत. त्यांनाच म्हणतात. वस्तुस्थिती अशी आहे की एका विशिष्ट गटामध्ये, कोणतीही क्रिया मागील एकावर अवलंबून नसते.

4. हे देखील एक Hasse आकृती आहे.

चल जाऊया चित्र १. प्रभावी काय आहे? पण हा काही शहरातील मेट्रोचा नकाशा असू शकतो! भूमिगत रेल्वेमार्ग नेहमी ओळींमध्ये गटबद्ध केले जातात - ते एकमेकांपासून दुसऱ्याकडे जात नाहीत. रेषा वैयक्तिक रेषा आहेत. शहरात तांदूळ. 4 होय बेक करावे ओळ (लक्षात ठेवा बेक करावे शब्दलेखन "बोल्डम" - पोलिशमध्ये त्याला अर्ध-जाड म्हणतात).

या चित्रात (चित्र 4) एक लहान पिवळा ABF, सहा-स्टेशन ACFKPS, हिरवा ADGL, निळा DGMRT आणि सर्वात लांब लाल आहे. गणितज्ञ म्हणेल: या हॅसे आकृतीवर आहे बेक करावे साखळ्या ते लाल रेषेवर आहे सात स्टेशन: AEINRUV. antichains बद्दल काय? ते तेथे आहेत सात. मी हा शब्द दोनदा अधोरेखित केल्याचे वाचकाच्या आधीच लक्षात आले आहे सात.

अपेक्षा हे स्थानकांचा असा संच आहे की हस्तांतरणाशिवाय त्यापैकी कोणत्याही स्थानकातून दुसर्‍या स्थानावर जाणे अशक्य आहे. जेव्हा आपण थोडेसे “आकडा काढतो” तेव्हा आपल्याला खालील अँटीचेन्स दिसतील: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. कृपया तपासा, उदाहरणार्थ, कोणत्याही बीसीएलटीव्ही स्टेशनवरून बदलल्याशिवाय दुसर्‍या बीसीटीएलव्हीमध्ये प्रवास करणे शक्य नाही, किंवा अधिक अचूकपणे: खाली दर्शविलेल्या स्टेशनवर परत न जाता. किती अँटीचेन आहेत? सात. सर्वात मोठा आकार कोणता आहे? बेक करावे (पुन्हा ठळक मध्ये).

विद्यार्थ्यांनो, तुम्ही कल्पना करू शकता की या संख्यांचा योगायोग अपघाती नाही. या. हे 1950 मध्ये रॉबर्ट पाल्मर डिलवर्थ (1914-1993, अमेरिकन गणितज्ञ) यांनी शोधले आणि सिद्ध केले (म्हणजे नेहमीच खरे). संपूर्ण संच कव्हर करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या ओळींची संख्या सर्वात मोठ्या अँटीचेनच्या आकाराएवढी आहे आणि त्याउलट: अँटीचेनची संख्या सर्वात लांब अँटीचेनच्या लांबीच्या बरोबरीची आहे. हे नेहमी अंशतः ऑर्डर केलेल्या सेटमध्ये होते, म्हणजे. ज्याची कल्पना करता येते. हसेगो आकृती. ही पूर्णपणे कठोर आणि योग्य व्याख्या नाही. यालाच गणितज्ञ "कार्यरत व्याख्या" म्हणतात. हे "कार्यरत व्याख्या" पेक्षा काहीसे वेगळे आहे. अर्धवट ऑर्डर केलेले संच कसे समजून घ्यावेत हा एक इशारा आहे. कोणत्याही प्रशिक्षणाचा हा एक महत्त्वाचा भाग आहे: ते कसे कार्य करते ते पहा.

इंग्रजी संक्षेप आहे - हा शब्द स्लाव्हिक भाषांमध्ये सुंदर वाटतो, थोडा काटेरी फुले व झुबकेदार पानांचे एक लहान झाड. कृपया लक्षात घ्या की काटेरी फुले व झुबकेदार पानांचे एक लहान झाड देखील branched आहेत.

खूप सुंदर, पण त्याची गरज कोणाला? तुम्हाला, प्रिय विद्यार्थ्यांनो, परीक्षेत उत्तीर्ण होण्यासाठी त्याची गरज आहे आणि बहुधा, त्याचा अभ्यास करण्यासाठी हे एक चांगले कारण आहे. मी ऐकत आहे, कोणते प्रश्न आहेत? मी ऐकतोय सर, खिडकीतून. अरे, प्रश्न असा आहे की, हे तुमच्या आयुष्यात कधी परमेश्वराला उपयोगी पडेल का? कदाचित नाही, पण तुमच्यापेक्षा हुशार कोणासाठी तरी... कदाचित एखाद्या जटिल आर्थिक प्रकल्पातील गंभीर मार्गाचे विश्लेषण करण्यासाठी?

मी हा मजकूर जूनच्या मध्यभागी लिहित आहे; वॉर्सा विद्यापीठात रेक्टरच्या निवडणुका सुरू आहेत. मी इंटरनेट वापरकर्त्यांच्या अनेक टिप्पण्या वाचल्या आहेत. "शिक्षित लोकांबद्दल" आश्चर्यकारक प्रमाणात द्वेष (किंवा "द्वेष") आहे. कोणीतरी स्पष्टपणे लिहिले आहे की विद्यापीठातील शिक्षण घेतलेल्या लोकांना विद्यापीठातील शिक्षण असलेल्या लोकांपेक्षा कमी माहिती आहे. मी अर्थातच चर्चेत येणार नाही. मला फक्त दुःख आहे की पोलिश पीपल्स रिपब्लिकमध्ये सर्व काही हातोडा आणि छिन्नीने केले जाऊ शकते असे प्रचलित मत परत येत आहे. मी गणिताकडे परत जात आहे.

डिलवर्थचे प्रमेय अनेक मनोरंजक अनुप्रयोग आहेत. त्यापैकी एक विवाह प्रमेय म्हणून ओळखला जातो.अंजीर 6). 

स्त्रियांचा एक गट (बहुधा मुली) आणि पुरुषांचा थोडा मोठा गट आहे. प्रत्येक मुलीला असे काहीतरी वाटते: "मी याशी, याशी, याशी लग्न करू शकते, परंतु माझ्या आयुष्यात कधीही तिसरीशी लग्न करू शकत नाही." आणि याप्रमाणे, प्रत्येकाची स्वतःची प्राधान्ये आहेत. आम्ही एक आकृती काढतो, त्या प्रत्येकाकडे त्या व्यक्तीकडून एक बाण असतो ज्याला तो वेदीसाठी उमेदवार म्हणून नाकारत नाही. प्रश्न: जोडप्यांना जुळवता येईल का जेणेकरून प्रत्येकाला तिला स्वीकारलेला नवरा मिळेल?

फिलिप हॉलचे प्रमेय, म्हणतात की हे केले जाऊ शकते - काही अटींच्या अधीन, ज्याची मी येथे चर्चा करणार नाही (नंतर पुढील व्याख्यानात, विद्यार्थी, कृपया). लक्षात ठेवा, तथापि, पुरुषांच्या समाधानाचा येथे अजिबात उल्लेख नाही. तुम्हाला माहिती आहे की, स्त्रियाच आम्हाला निवडतात, उलट नाही, जसे आम्हाला वाटते (मला आठवण करून द्या की मी लेखक आहे, लेखक नाही).

काही गंभीर गणित. हॉलचे प्रमेय दिलवर्थचे कसे अनुकरण करते? हे खूप सोपे आहे. आकृती 6 कडे पुन्हा पाहू या. तेथील साखळ्या फारच लहान आहेत: त्यांची लांबी 2 आहे (दिशेने चालत आहे). लहान पुरुषांचा संच एक अँटीचेन आहे (तंतोतंत कारण बाण फक्त एकमेकांकडे निर्देशित करतात). अशा प्रकारे तुम्ही पुरूषांइतकेच अँटीचेनसह संपूर्ण संग्रह कव्हर करू शकता. तर, प्रत्येक स्त्रीला बाण असेल. याचा अर्थ ती कदाचित तिला स्वीकारलेल्या मुलासारखी वाटेल !!!

थांबा, कोणीतरी विचारेल, ते आहे का? हा संपूर्ण अनुप्रयोग आहे का? संप्रेरक कसे तरी सोबत मिळतात आणि का गणित? प्रथम, हा संपूर्ण अनुप्रयोग नाही, परंतु मोठ्या मालिकेपैकी फक्त एक आहे. त्यापैकी एक पाहू. चला (चित्र 6) चा अर्थ उत्तम लिंगाचे प्रतिनिधी नसून गूढ खरेदीदार आहेत आणि हे ब्रँड आहेत, उदाहरणार्थ, कार, वॉशिंग मशिन, वजन कमी करणारी उत्पादने, ट्रॅव्हल एजन्सींच्या ऑफर इ. प्रत्येक खरेदीदाराकडे ब्रँड असतात जे तो स्वीकारतो. आणि नाकारतो. प्रत्येकाला काहीतरी विकण्यासाठी काही करता येईल का आणि कसे? येथेच केवळ विनोद संपत नाही तर या विषयावरील लेखाच्या लेखकाचे ज्ञान देखील आहे. मला एवढंच माहीत आहे की हे विश्लेषण काही गुंतागुंतीच्या गणितावर आधारित आहे.

शाळेत गणित शिकवणे म्हणजे अल्गोरिदम शिकवणे. हा प्रशिक्षणाचा एक महत्त्वाचा भाग आहे. पण हळूहळू आपण गणिताच्या पद्धतीइतके गणित शिकवण्याकडे वाटचाल करत आहोत. आजचे व्याख्यान फक्त या विषयावर होते: आपण अमूर्त मानसिक रचनांबद्दल बोलतो, आपण दैनंदिन जीवनाबद्दल विचार करतो. आम्ही खरेदीदार-विक्रेता मॉडेल्समध्ये वापरत असलेल्या व्युत्क्रम, संक्रामक आणि इतर संबंधांसह सेटमध्ये चेन आणि अँटीचेन्सबद्दल बोलत आहोत. संगणक आमच्यासाठी सर्व गणना करेल. तो अजून गणिती मॉडेल्स तयार करणार नाही. तरीही आम्ही आमच्या विचाराने जिंकतो. कोणत्याही परिस्थितीत, मी शक्य तितक्या लांब आशा करतो!