आपण शून्याने का भागत नाही?
वाचकांना प्रश्न पडेल की मी एवढ्या क्षुल्लक मुद्द्याला संपूर्ण लेख का समर्पित करतो? त्याचे कारण म्हणजे या नावाखाली निष्काळजीपणे कारवाई करणाऱ्या विद्यार्थ्यांची (!) संख्या. आणि केवळ विद्यार्थीच नाही. कधीकधी मी पकडतो आणि शिक्षक. अशा शिक्षकांचे विद्यार्थी गणितात काय करू शकतील? हा मजकूर लिहिण्याचे तात्काळ कारण म्हणजे एका शिक्षकाशी संभाषण ज्यासाठी शून्याने भागाकार करणे ही समस्या नव्हती ...
शून्यासह, होय, कोणत्याही गोष्टीचा त्रास वगळता, कारण आपल्याला ते दैनंदिन जीवनात वापरण्याची खरोखर गरज नाही. आम्ही शून्य अंडी खरेदी करण्यासाठी जात नाही. “खोलीत एक व्यक्ती आहे” हा आवाज कसा तरी नैसर्गिक वाटतो आणि “शून्य लोक” कृत्रिम वाटतो. भाषाशास्त्रज्ञ म्हणतात की शून्य हे भाषा प्रणालीच्या बाहेर आहे.
आम्ही बँक खात्यांमध्ये शून्याशिवाय देखील करू शकतो: फक्त वापरा - थर्मामीटरप्रमाणे - सकारात्मक आणि नकारात्मक मूल्यांसाठी लाल आणि निळा (लक्षात ठेवा तापमानासाठी सकारात्मक संख्यांसाठी लाल वापरणे स्वाभाविक आहे आणि बँक खात्यांसाठी ते उलट आहे, कारण डेबिटने चेतावणी दिली पाहिजे, म्हणून लाल रंगाची शिफारस केली जाते).
नैसर्गिक संख्या म्हणून शून्याचा समावेश करून, आपण भिन्नतेच्या समस्येला स्पर्श करतो मुख्य क्रमांक od घरगुती. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. च्या आत
संख्येची शक्ती ती जिथे उभी आहे तितकीच असते. अन्यथा, तो आधीपासूनच 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. या क्रमात आहे.
सिंगलटन सेट्सची संख्या दुसरी, दोन घटकांसह संचांची संख्या तिसरी, इत्यादी. आम्हाला स्‍पष्‍ट करण्‍याचे आहे, उदाहरणार्थ, स्‍पर्धामध्‍ये आम्ही अॅथलीटच्‍या स्‍थानांना सुरवातीपासून क्रमांक का देत नाही. मग प्रथम क्रमांकाच्या विजेत्याला रौप्य पदक मिळेल (शून्य स्थान विजेत्याला सुवर्णपदक मिळाले), आणि असेच काहीसे. अशीच काहीशी पद्धत फुटबॉलमध्ये वापरली गेली होती - मला माहित नाही की वाचकांना "लीग वन" म्हणजे " सर्वोत्तम अनुसरण." ", आणि शून्य लीगला "प्रमुख लीग" होण्यासाठी म्हटले जाते.
काहीवेळा आपण असा युक्तिवाद ऐकतो की आपल्याला सुरवातीपासून प्रारंभ करणे आवश्यक आहे, कारण ते आयटी लोकांसाठी सोयीचे आहे. हे विचार चालू ठेवून, किलोमीटरची व्याख्या बदलली पाहिजे - ती 1024 मीटर असावी, कारण ही किलोबाइटमधील बाइट्सची संख्या आहे (मी संगणक शास्त्रज्ञांना ज्ञात असलेल्या विनोदाचा संदर्भ देईन: "नवीन व्यक्ती आणि त्यात काय फरक आहे? संगणक शास्त्राचा विद्यार्थी आणि या विद्याशाखेचा पाचव्या वर्षाचा विद्यार्थी? की एक किलोबाइट म्हणजे 1000 किलोबाइट, शेवटचा - म्हणजे एक किलोमीटर म्हणजे 1024 मीटर")!
आणखी एक दृष्टिकोन, ज्याला आधीच गांभीर्याने घेतले पाहिजे, ते आहे: आम्ही नेहमी सुरवातीपासून मोजतो! शासक, घरगुती तराजूवर, अगदी घड्याळावर कोणत्याही स्केलकडे पाहणे पुरेसे आहे. आपण शून्यातून मोजतो, आणि मोजणी ही परिमाणविहीन एककासह मोजमाप म्हणून समजू शकते, तर आपण शून्यातून मोजले पाहिजे.
साधी गोष्ट आहे, पण...
चला सामान्य तर्क सोडू आणि शून्याने भागाकाराकडे परत जाऊ. गोष्ट साधी आहे आणि ती नसती तर साधी असते... मग काय? चला विचार करू आणि प्रयत्न करूया. ते किती असू शकते - एक भागिले शून्य? चला पाहू: 1/0 = x. दोन्ही बाजूंना डाव्या बाजूच्या भाजकाने गुणा.
आम्हाला 1=0 मिळतो. काहीतरी चूक आहे! काय झालं? अरे अंदाज! एकता आणि शून्याचा भाग आहे असे गृहीत धरल्याने विरोधाभास निर्माण होतो. आणि जर एखाद्याला शून्याने भागता येत नसेल, तर दुसरी संख्या करू शकते. वाचकहो, जर तुम्ही तुमचे खांदे सरकवून विचार करत असाल की लेखक (म्हणजेच मी) अशा विचित्र गोष्टींबद्दल का लिहितो, तर... मला खूप आनंद झाला!
0/0 = 0 या सूत्राचा हट्टी आधारावर बचाव केला जाऊ शकतो, परंतु तो एका संख्येला स्‍वत: भागाकारल्‍याचा परिणाम एक सारखा असतो या नियमाचा विरोध करतो. पूर्णपणे, परंतु कॅल्क्युलसमध्ये 0/0, °/° आणि यासारखी चिन्हे पूर्णपणे भिन्न आहेत. त्यांचा अर्थ कोणतीही संख्या नाही, परंतु विशिष्ट प्रकारच्या विशिष्ट अनुक्रमांसाठी प्रतीकात्मक पदनाम आहेत.
इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकीच्या पुस्तकात, मला एक मनोरंजक तुलना आढळली: शून्याने भागणे हे उच्च व्होल्टेज विजेइतकेच धोकादायक आहे. हे सामान्य आहे: ओमचा नियम सांगतो की व्होल्टेज आणि प्रतिरोधनाचे गुणोत्तर विद्युत् प्रवाहाच्या बरोबरीचे आहे: V = U / R. जर प्रतिकार शून्य असेल, तर एक सैद्धांतिकदृष्ट्या अनंत प्रवाह कंडक्टरमधून वाहेल, सर्व संभाव्य कंडक्टर बर्न करेल.
मी एकदा आठवड्याच्या प्रत्येक दिवसासाठी शून्याने विभाजित करण्याच्या धोक्यांबद्दल एक कविता लिहिली होती. मला आठवते की सर्वात नाट्यमय दिवस गुरुवार होता, परंतु या क्षेत्रातील माझ्या सर्व कामांसाठी ही दया आहे.
जेव्हा तुम्ही एखाद्या गोष्टीला शून्याने विभाजित करता
सोमवारी खूप लवकर
नुकतेच काय घडले ते आठवडा
तुम्ही आधीच नापास झाला आहात.
जेव्हा मंगळवारी दुपार
तुम्ही भाजकात शून्य ठेवले
तेव्हा मी तुम्हाला सांगेन, तुम्ही चुकीचे आहात
वाईट गणितज्ञ!
जेव्हा शून्यातून, विकृतीतून,
बुधवारी विभक्त व्हायचे
तुम्ही खूप संकटात पडाल
तुमच्या डोक्यात गवत आणि पाणी आहे!
एक विशिष्ट बार्टेक आमच्याबरोबर होता.
तो नियमांच्या विरोधात होता.
गुरुवारी तो शून्याने भागतो.
तो आता आपल्यात नाही!
जर एखादी विचित्र इच्छा तुम्हाला पकडते
शुक्रवारी शून्याने भागा
मी प्रामाणिक राहीन, मी प्रामाणिक असेन:
या शनिवार व रविवारची सुरुवात वाईट आहे.
ते शून्य असताना, शनिवारी कुठेतरी
विभाजक तुमचा असेल (ठळक नाही)
चर्चच्या कुंपणाखाली गुडघे टेकणे.
हे तुमचे पुनरुत्थान आहे.
तुला डॅशखाली शून्य हवे आहे का,
रविवारी सुट्टी करा
खडू, काळी पाटी आणा.
लिहा: ते शून्याने भागता येत नाही!
शून्य हे शून्यता आणि शून्यतेशी संबंधित आहे. खरंच, तो गणितात एक परिमाण म्हणून आला की, कोणत्याहीमध्ये जोडल्यास, ते बदलत नाही: x + 0 = x. पण आता शून्य इतर अनेक मूल्यांमध्ये दिसून येते, विशेष म्हणजे स्केल प्रारंभ. जर खिडकीच्या बाहेर सकारात्मक तापमान किंवा दंव नसेल तर ... हे शून्य आहे, याचा अर्थ असा नाही की तापमान अजिबात नाही. शून्य-श्रेणीचे स्मारक असे नाही जे बर्याच काळापासून पाडले गेले आहे आणि फक्त अस्तित्वात नाही. याउलट, ते वावेल, आयफेल टॉवर आणि स्टॅच्यू ऑफ लिबर्टीसारखे काहीतरी आहे.
बरं, पोझिशनल सिस्टीममध्ये शून्याचे महत्त्व फारसे मोजले जाऊ शकत नाही. वाचकहो, तुम्हाला माहीत आहे का, बिल गेट्सच्या बँक खात्यात किती शून्य आहेत? मला माहीत नाही, पण मला अर्धा हवा आहे. वरवर पाहता, नेपोलियन बोनापार्टच्या लक्षात आले की लोक शून्यासारखे आहेत: ते स्थानाद्वारे अर्थ प्राप्त करतात. आंद्रेझ वाजदा यांच्या अॅज द इयर्स, अॅज द डेज गो बाय या चित्रपटात, उत्कट कलाकार जेर्झीने स्फोट केला: "फिलिस्टाइन शून्य, निहिल, काहीही, काहीही नाही, निहिल, शून्य आहे." परंतु शून्य चांगले असू शकते: "मान्यतेपासून शून्य विचलन" म्हणजे सर्वकाही चांगले चालले आहे आणि ते चालू ठेवा!
चला गणिताकडे परत जाऊया. शून्य जोडले जाऊ शकते, वजा केले जाऊ शकते आणि दोषमुक्तीने गुणाकार केला जाऊ शकतो. “मी शून्य किलोग्रॅम वाढले,” मन्या अन्याला म्हणतो. "आणि हे मनोरंजक आहे, कारण मी समान वजन कमी केले," अन्या उत्तर देते. चला तर मग सहा वेळा आइस्क्रीमचे झिरो सर्व्हिंग्स खाऊ, त्याचा त्रास होणार नाही.
आपण शून्याने भागू शकत नाही, परंतु आपण शून्याने भागू शकतो. जे अन्नाची वाट पाहत आहेत त्यांना शून्य डंपलिंगची प्लेट सहजपणे दिली जाऊ शकते. प्रत्येकाला किती मिळेल?
शून्य सकारात्मक किंवा नकारात्मक नाही. हे आणि संख्या सकारात्मक नसलेलेи नकारात्मक नसलेले. हे x≥0 आणि x≤0 असमानता पूर्ण करते. "काहीतरी सकारात्मक" हा विरोधाभास "काहीतरी नकारात्मक" नसून "काहीतरी नकारात्मक किंवा शून्याच्या समान" आहे. गणितज्ञ, भाषेच्या नियमांच्या विरुद्ध, नेहमी म्हणतील की काहीतरी "शून्य बरोबर" आहे आणि "शून्य" नाही. या प्रथेचे समर्थन करण्यासाठी, आमच्याकडे आहे: जर आपण x = 0 "x शून्य आहे" हे सूत्र वाचले, तर x = 1 आपण "x समान आहे" असे वाचतो, जे गिळले जाऊ शकते, परंतु "x = 1534267" चे काय? तुम्ही अक्षर 0 ला संख्यात्मक मूल्य देखील नियुक्त करू शकत नाही0किंवा नकारात्मक शक्तीवर शून्य वाढवू नका. दुसरीकडे, तुम्ही इच्छेनुसार शून्य रूट करू शकता... आणि परिणाम नेहमी शून्य असेल.
घातांकीय कार्य y = ax, a चा धनात्मक आधार कधीही शून्य होत नाही. हे खालीलप्रमाणे आहे की शून्य लॉगरिथम नाही. खरंच, a ते बेस b चा लॉगरिदम हा घातांक आहे ज्यावर a चा लॉगरिथम मिळवण्यासाठी बेस वाढवला पाहिजे. a = 0 साठी, असा कोणताही निर्देशक नाही आणि शून्य हा लॉगरिदमचा आधार असू शकत नाही. तथापि, न्यूटनच्या चिन्हाच्या "भाजक" मधील शून्य काही वेगळे आहे. आम्ही असे गृहीत धरतो की या अधिवेशनांमुळे विरोधाभास होत नाही.
खोटे पुरावे
शून्याने भागाकार हा खोट्या पुराव्यांसाठी एक सामान्य विषय आहे आणि तो अगदी अनुभवी गणितज्ञांनाही होतो. मी तुम्हाला माझी दोन आवडती उदाहरणे देतो. पहिले बीजगणितीय आहे. सर्व संख्या समान आहेत हे मी "सिद्ध" करीन. समजा दोन संख्या समान नाहीत. म्हणून, त्यापैकी एक दुसऱ्यापेक्षा मोठा आहे, a > b द्या. c त्यांचा फरक आहे असे गृहीत धरू
c \uXNUMXd a - b. तर आपल्याकडे a - b = c, कुठून a = b + c.
आम्ही नंतरचे दोन्ही भाग a - b ने गुणाकार करतो:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
मी डाव्या बाजूला ak चे भाषांतर करतो, अर्थातच मला चिन्ह बदलण्याबद्दल आठवते:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
मी सामान्य घटक वगळतो:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
मी सामायिक करतो आणि मला पाहिजे ते माझ्याकडे आहे:
a = b.
आणि प्रत्यक्षात अगदी अनोळखी, कारण मी गृहीत धरले की a > b, आणि मला ते a = b मिळाले. जर वरील उदाहरणात "फसवणूक" ओळखणे सोपे असेल, तर खालील भूमितीय पुराव्यात ते इतके सोपे नाही. मी हे सिद्ध करेन ... ट्रॅपेझॉइड अस्तित्वात नाही. सामान्यतः ट्रॅपेझॉइड नावाची आकृती अस्तित्वात नाही.
पण आधी समजा ट्रॅपेझॉइड (खालील आकृतीत ABCD) सारखी गोष्ट आहे. त्याला दोन समांतर बाजू ("पाया") आहेत. चित्रात दाखवल्याप्रमाणे या तळांना ताणू या, म्हणजे आपल्याला समांतरभुज चौकोन मिळेल. त्याचे कर्ण ट्रॅपेझॉइडच्या इतर कर्णांना अशा खंडांमध्ये विभाजित करतात ज्यांची लांबी x, y, z दर्शविली जाते. चित्र १. संबंधित त्रिकोणांच्या समानतेवरून, आम्ही प्रमाण प्राप्त करतो:
जिथे आम्ही परिभाषित करतो:
ओराझ
जिथे आम्ही परिभाषित करतो:
तारकाने चिन्हांकित केलेल्या समानतेच्या बाजू वजा करा:
दोन्ही बाजूंना x − z ने लहान केल्यास, आपल्याला – a/b = 1 मिळेल, याचा अर्थ a + b = 0. परंतु a, b या संख्या समलंबाच्या पायाच्या लांबी आहेत. जर त्यांची बेरीज शून्य असेल तर ते देखील शून्य आहेत. याचा अर्थ असा की ट्रॅपेझॉइडसारखी आकृती अस्तित्वात असू शकत नाही! आणि आयत, समभुज चौकोन आणि चौरस देखील ट्रॅपेझॉइड असल्याने, प्रिय वाचक, तेथे कोणतेही समभुज चौकोन, आयत आणि चौकोन नाहीत ...
अंदाज लावा
चार मूलभूत क्रियाकलापांपैकी माहितीची देवाणघेवाण करणे हे सर्वात मनोरंजक आणि आव्हानात्मक आहे. येथे, प्रथमच, आम्हाला प्रौढत्वात इतकी सामान्य घटना आढळते: "उत्तराचा अंदाज घ्या आणि नंतर तुम्ही योग्य अंदाज लावला आहे का ते तपासा." हे डॅनियल के. डेनेट (“हाऊ टू मेक मिस्टेक्स?”, हाऊ इट इज – ए सायंटिफिक गाईड टू द युनिव्हर्स, सीआयएस, वॉर्सा, १९९७) यांनी अतिशय समर्पकपणे व्यक्त केले आहे:
"अंदाज लावण्याची" ही पद्धत आपल्या प्रौढ जीवनात व्यत्यय आणत नाही - कदाचित कारण आपण ते लवकर शिकतो आणि अंदाज लावणे कठीण नाही. वैचारिकदृष्ट्या, समान घटना घडते, उदाहरणार्थ, गणितीय (पूर्ण) इंडक्शनमध्ये. त्याच ठिकाणी, आम्ही सूत्राचा "अंदाज" करतो आणि नंतर आमचा अंदाज बरोबर आहे की नाही ते तपासतो. विद्यार्थी नेहमी विचारतात: “आम्हाला नमुना कसा कळला? ते कसे काढता येईल?" जेव्हा विद्यार्थी मला हा प्रश्न विचारतात, तेव्हा मी त्यांचा प्रश्न विनोदात बदलतो: "मला हे माहित आहे कारण मी एक व्यावसायिक आहे, कारण मला हे जाणून घेण्यासाठी पैसे दिले जातात." शाळेतील विद्यार्थ्यांना त्याच शैलीत उत्तर दिले जाऊ शकते, फक्त अधिक गंभीरपणे.
व्यायाम. लक्षात घ्या की आम्ही सर्वात कमी एककासह बेरीज आणि लिखित गुणाकार आणि सर्वोच्च एककासह भागाकार सुरू करतो.
दोन कल्पनांचे मिश्रण
गणिताच्या शिक्षकांनी नेहमी निदर्शनास आणून दिले आहे की आपण ज्याला प्रौढ वेगळे करणे म्हणतो ते दोन संकल्पनात्मक भिन्न कल्पनांचे एकत्रीकरण आहे: गृहनिर्माण i वेगळे करणे.
पहिला (गृहनिर्माण) कार्यांमध्ये आढळते जेथे आर्केटाइप आहे:
विभाजन-विभाजन ही कार्ये आहेत जसे की:
? (आम्ही या समस्येची मूळ शैली कायम ठेवली आहे, 1892 मध्ये क्रॅको येथे प्रकाशित झालेल्या ज्युलियन झ्गोझालेविझ यांच्या हँडबुकमधून घेतलेली आहे - złoty हे Rhenish złoty आहे, जे चलन ऑस्ट्रो-हंगेरियन साम्राज्यात XNUMX व्या शतकाच्या सुरुवातीपर्यंत होते).
आता दोन समस्यांचा विचार करा पोलिशमधील सर्वात जुने गणिताचे पाठ्यपुस्तक, वडील Tomasz Clos (1538). हा विभाग आहे की कूप? XNUMX व्या शतकातील शाळकरी मुलांनी हे ज्या प्रकारे सोडवावे:
(पोलिश ते पोलिश भाषांतर: एका बॅरलमध्ये एक चतुर्थांश आणि चार भांडी असतात. एक भांडे चार क्वार्ट असतात. कोणीतरी व्यापारासाठी 20 zł साठी 50 बॅरल वाईन विकत घेतली. शुल्क आणि कर (अबकारी?) 8 zł असेल. किती 8 zł मिळवण्यासाठी एक क्वार्ट विकू?)
खेळ, भौतिकशास्त्र, एकरूपता
काहीवेळा खेळात तुम्हाला शून्याने (गोल रेशो) काहीतरी भागावे लागते. बरं, न्यायाधीश कसा तरी त्याचा सामना करतात. तथापि, अमूर्त बीजगणित मध्ये ते अजेंडावर आहेत. शून्य नसलेले प्रमाणज्याचा वर्ग शून्य आहे. अगदी सोप्या भाषेतही समजावून सांगता येईल.
समतल बिंदू (x, y) सह बिंदू (y, 0) संबद्ध करणारे कार्य F विचारात घ्या. एफ म्हणजे काय2, म्हणजे, F ची दुहेरी अंमलबजावणी? शून्य कार्य - प्रत्येक बिंदूमध्ये प्रतिमा (0,0) असते.
शेवटी, शून्य नसलेले प्रमाण ज्यांचे वर्ग 0 आहे ते भौतिकशास्त्रज्ञांसाठी जवळजवळ रोजचे ब्रेड आहेत आणि a + bε फॉर्मच्या संख्या आहेत, जेथे ε ≠ 0, परंतु ε2 = 0, गणितज्ञ कॉल दुहेरी संख्या. ते गणितीय विश्लेषण आणि भिन्न भूमितीमध्ये आढळतात.
शेवटी, अंकगणितात असे काहीतरी आहे ज्याचा किमान नावात शून्याने भागाकार आहे. ते येते एकत्रीकरण. Z ला पूर्णांकांचा संच दर्शवू. सेट Z ला p ने भागणे म्हणजे आपण प्रत्येक संख्येला (पूर्णांक) काही इतरांशी, म्हणजे, ज्यांच्या फरकाने भागाकार आहे त्यांच्याशी समान करतो. तर, जेव्हा आपल्याकडे 0, 1, 2, 3, 4 या संख्यांशी संबंधित पाच प्रकारच्या संख्या असतात - 5 ने भागल्यास संभाव्य उरलेले असतात. सूत्र असे लिहिले जाते:
mod जेव्हा फरक एकाधिक असतो.
= 2 साठी, आमच्याकडे फक्त दोन संख्या आहेत: 0 आणि 1. पूर्णांकांना अशा दोन वर्गांमध्ये विभाजित करणे त्यांना सम आणि विषम मध्ये विभाजित करण्यासारखे आहे. आता ते बदलू. फरक हा नेहमी 1 ने भाग जातो (कोणत्याही पूर्णांकाला 1 ने भाग जातो). =0 घेणे शक्य आहे का? चला प्रयत्न करूया: दोन संख्यांचा फरक शून्याचा गुणाकार कधी होतो? जेव्हा या दोन संख्या समान असतील तेव्हाच. त्यामुळे पूर्णांकांच्या संचाला शून्याने विभाजित करणे अर्थपूर्ण आहे, परंतु ते मनोरंजक नाही: काहीही होत नाही. तथापि, हे प्राथमिक शाळेपासून ज्ञात असलेल्या अर्थाने संख्यांचे विभाजन नाही यावर जोर दिला पाहिजे.
अशा कृती फक्त निषिद्ध आहेत, तसेच लांब आणि रुंद गणिते आहेत.
तांदूळ. 2. तुलना वापरून संख्या ओळखणे
(मोड 5 आणि मोड 2)
