गणिताच्या अवास्तव जगात प्रवास
संगणक विज्ञान महाविद्यालयात व्याख्यान आणि सरावानंतर मी हा लेख एका वातावरणात लिहिला. मी या शाळेतील विद्यार्थ्यांच्या टीकेपासून, त्यांचे ज्ञान, विज्ञानाकडे पाहण्याचा दृष्टीकोन आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे: शिकवण्याचे कौशल्य यापासून स्वतःचा बचाव करतो. हे... त्यांना कोणी शिकवत नाही.
मी इतका बचावात्मक का आहे? एका साध्या कारणासाठी - मी अशा वयात आहे जेव्हा, कदाचित, आपल्या सभोवतालचे जग अद्याप समजलेले नाही. कदाचित मी त्यांना घोड्यांना हार्नेस आणि अनहार्नेस शिकवत आहे आणि कार चालवू नये? कदाचित मी त्यांना कलम पेनने लिहायला शिकवेन? माझे एखाद्या व्यक्तीबद्दल चांगले मत असले तरी, मी स्वतःला "अनुसरण" मानतो, परंतु…
अलीकडे पर्यंत, हायस्कूलमध्ये, ते जटिल संख्यांबद्दल बोलायचे. आणि या बुधवारीच मी घरी आलो, सोडले - जवळजवळ कोणत्याही विद्यार्थ्याला अद्याप हे काय आहे आणि हे नंबर कसे वापरायचे हे शिकले नाही. काही जण रंगलेल्या दारात हंससारखे सगळे गणित पाहतात. पण जेव्हा त्यांनी मला कसे शिकायचे ते सांगितले तेव्हा मला खरोखर आश्चर्य वाटले. सोप्या भाषेत सांगायचे तर, व्याख्यानाचा प्रत्येक तास हा दोन तासांचा गृहपाठ असतो: पाठ्यपुस्तक वाचणे, दिलेल्या विषयावरील समस्या कशा सोडवायच्या हे शिकणे इ. अशा प्रकारे तयारी केल्यावर, आम्ही व्यायामाकडे आलो, जिथे आम्ही सर्वकाही सुधारतो ... आनंददायीपणे, विद्यार्थ्यांनी, वरवर पाहता, असे विचार केले की व्याख्यानात बसणे - बहुतेकदा खिडकीतून बाहेर पाहणे - आधीच डोक्यात ज्ञानाच्या प्रवेशाची हमी देते.
थांबा! हे पुरेसे आहे. देशभरातील हुशार मुलांचे समर्थन करणारी संस्था, राष्ट्रीय बाल निधी, या संस्थेच्या फेलोसह वर्गादरम्यान मला मिळालेल्या प्रश्नाचे मी माझ्या उत्तराचे वर्णन करेन. प्रश्न (किंवा त्याऐवजी सूचना) होता:
- तुम्ही आम्हाला अवास्तव संख्यांबद्दल काही सांगू शकाल का?
"अर्थात," मी उत्तर दिले.
संख्यांची वास्तविकता
"मित्र म्हणजे दुसरा मी, मैत्री म्हणजे 220 आणि 284 अंकांचे गुणोत्तर," पायथागोरस म्हणाले. येथे मुद्दा असा आहे की संख्या 220 च्या विभाजकांची बेरीज 284 आहे आणि 284 क्रमांकाच्या विभाजकांची बेरीज 220 आहे:
५ + ३ + १ + २ + ४ = १५
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. तसे, आम्ही लक्षात घेतो की बायबलसंबंधी याकोबने मैत्रीचे चिन्ह म्हणून एसावला 220 मेंढरे आणि मेंढे दिले (उत्पत्ति 32:14 ).
220 आणि 284 क्रमांकांमधील आणखी एक मनोरंजक योगायोग असा आहे: सतरा सर्वोच्च मूळ संख्या 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , आणि ५९.
त्यांची बेरीज 2x220 आहे आणि चौरसांची बेरीज 59x284 आहे.
पहिला. "वास्तविक संख्या" ही संकल्पना नाही. हत्तींबद्दलचा लेख वाचल्यानंतर तुम्ही विचाराल, "आता आम्ही हत्ती नसलेल्यांना विचारणार आहोत." संपूर्ण आणि गैर-संपूर्ण, तर्कसंगत आणि अतार्किक आहेत, परंतु कोणतेही अवास्तव नाहीत. विशेषत: वास्तविक नसलेल्या संख्यांना अवैध म्हटले जात नाही. गणितामध्ये "संख्या" चे अनेक प्रकार आहेत आणि ते एकमेकांपासून भिन्न आहेत, जसे की - प्राणीशास्त्रीय तुलना करणे - एक हत्ती आणि गांडुळ.
दुसरे म्हणजे, आम्ही ऑपरेशन करू जे तुम्हाला आधीच निषिद्ध आहेत हे माहित असेल: ऋण संख्यांचे वर्गमूळ काढणे. बरं, गणित अशा अडथळ्यांवर मात करेल. तरी अर्थ आहे का? गणितात, इतर कोणत्याही विज्ञानाप्रमाणे, एखादा सिद्धांत ज्ञानाच्या भांडारात कायमचा प्रवेश करतो की नाही हे ... त्याच्या वापरावर अवलंबून असते. जर ते निरुपयोगी असेल तर ते कचऱ्यात संपते, नंतर ज्ञानाच्या इतिहासाच्या कचऱ्यात. या लेखाच्या शेवटी मी ज्या संख्येबद्दल बोलतो त्याशिवाय गणित विकसित करणे अशक्य आहे. पण काही छोट्या गोष्टींपासून सुरुवात करूया. वास्तविक संख्या काय आहेत, तुम्हाला माहिती आहे. ते संख्या रेषा घनतेने आणि अंतराशिवाय भरतात. तुम्हाला हे देखील माहित आहे की नैसर्गिक संख्या काय आहेत: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - त्या सर्व बसणार नाहीत स्मृती अगदी महान. त्यांचे एक सुंदर नाव देखील आहे: नैसर्गिक. त्यांच्याकडे अनेक मनोरंजक गुणधर्म आहेत. तुम्हाला हे कसे आवडते:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + 152 + 422 + 982 + 1232 + 1792 + 2062 + 2202 = 32 + 112 + 462 + 922 + 1292 + 1752 + 2102 + 2182
13 + 153 + 423 + 983 + 1233 + 1793 + 2063 + 2203 = 33 + 113 + 463 + 923 + 1293 + 1753 + 2103 + 2183
14 + 154 + 424 + 984 + 1234 + 1794 + 2064 + 2204 = 34 + 114 + 464 + 924 + 1294 + 1754 + 2104 + 2184
15 + 155 + 425 + 985 + 1235 + 1795 + 2065 + 2205 = 35 + 115 + 465 + 925 + 1295 + 1755 + 2105 + 2185
16 + 156 + 426 + 983 + 1236 + 1796 + 2066 + 2206 = 36 + 116 + 466 + 926 + 1296 + 1756 + 2106 + 2186
17 + 157 + 427 + 983 + 1237 + 1797 + 2067 + 2207 = 37 + 117 + 467 + 927 + 1297 + 1757 + 2107 + 2187
"नैसर्गिक संख्यांमध्ये स्वारस्य असणे स्वाभाविक आहे," कार्ल लिंडनहोम म्हणाले, आणि लिओपोल्ड क्रोनेकर (1823-1891) यांनी संक्षिप्तपणे सांगितले: "देवाने नैसर्गिक संख्या निर्माण केल्या - बाकी सर्व काही मनुष्याचे कार्य आहे!" अपूर्णांक (गणितज्ञांनी परिमेय संख्या म्हणतात) मध्ये देखील आश्चर्यकारक गुणधर्म आहेत:
आणि समानतेत:
आपण, डाव्या बाजूपासून प्रारंभ करून, प्लस्स घासू शकता आणि त्यांना गुणाकार चिन्हांसह बदलू शकता - आणि समानता सत्य राहील:
आणि याप्रमाणे.
तुम्हाला माहिती आहे की, a/b अपूर्णांकांसाठी, जेथे a आणि b पूर्णांक आहेत आणि b ≠ 0, ते म्हणतात परिमेय संख्या. परंतु केवळ पोलिशमध्ये ते स्वतःला असे म्हणतात. ते इंग्रजी, फ्रेंच, जर्मन आणि रशियन बोलतात. परिमेय संख्या. इंग्रजीमध्ये: परिमेय संख्या. अपरिमेय संख्या ते तर्कहीन, तर्कहीन आहे. आम्ही तर्कहीन सिद्धांत, कल्पना आणि कृतींबद्दल पोलिश देखील बोलतो - हे वेडेपणा, काल्पनिक, अवर्णनीय आहे. ते म्हणतात की स्त्रिया उंदरांना घाबरतात - ते इतके अतार्किक नाही का?
प्राचीन काळी संख्यांना आत्मा होता. प्रत्येकाचा अर्थ काहीतरी होता, प्रत्येकाने काहीतरी प्रतीक केले होते, प्रत्येकाने विश्वाच्या त्या सुसंवादाचा एक कण प्रतिबिंबित केला होता, म्हणजेच ग्रीकमध्ये, कॉसमॉस. "कॉसमॉस" या शब्दाचा नेमका अर्थ "ऑर्डर, ऑर्डर" असा होतो. सर्वात महत्वाचे म्हणजे सहा (परिपूर्ण संख्या) आणि दहा, लागोपाठ संख्यांची बेरीज 1+2+3+4, इतर संख्यांनी बनलेली ज्यांचे प्रतीकवाद आजपर्यंत टिकून आहे. तर पायथागोरसने शिकवले की संख्या ही प्रत्येक गोष्टीची सुरुवात आणि स्त्रोत आहे आणि फक्त शोध आहे अपरिमेय संख्या पायथागोरियन चळवळ भूमितीकडे वळवली. आम्हाला शाळेतील तर्क माहित आहेत
√2 ही अपरिमेय संख्या आहे
समजा की आहे: आणि हा अंश कमी करता येत नाही. विशेषतः, p आणि q दोन्ही विषम आहेत. चला वर्ग करू: 2q2=p2. p संख्या विषम असू शकत नाही, तेव्हापासून p2 देखील असेल, आणि समानतेची डावी बाजू 2 चा गुणाकार आहे. म्हणून, p सम आहे, म्हणजे, p = 2r, म्हणून p2= 4 आर2. आम्ही समीकरण 2q कमी करतो2= 4 आर2 2. आम्हाला q मिळेल2= 2 आर2 आणि आपण पाहतो की q देखील सम असणे आवश्यक आहे, जे असे नाही असे आपण गृहीत धरले आहे. परिणामी विरोधाभास पुरावा पूर्ण करतो - हे सूत्र बहुतेक वेळा प्रत्येक गणिताच्या पुस्तकात आढळू शकते. हा परिस्थितीजन्य पुरावा ही सोफिस्टांची आवडती युक्ती आहे.
ही विशालता पायथागोरियन लोकांना समजू शकली नाही. प्रत्येक गोष्टीचे संख्यांनुसार वर्णन करता आले पाहिजे आणि चौरसाचा कर्ण, जो कोणीही वाळूवर काठीने काढू शकतो, त्याला नाही, म्हणजे मोजता येण्याजोगा, लांबी. "आमचा विश्वास व्यर्थ होता," पायथागोरियस म्हणतात असे दिसते. असे कसे? हा एक प्रकारचा... तर्कहीन आहे. संघाने सांप्रदायिक पद्धतींनी स्वतःला वाचवण्याचा प्रयत्न केला. जो कोणी आपले अस्तित्व उघड करण्याची हिंमत करतो अपरिमेय संख्या, मृत्युदंडाची शिक्षा द्यायची होती, आणि, वरवर पाहता, पहिली शिक्षा मास्टरने स्वतः केली होती.
पण "विचार असह्य झाला." सुवर्णकाळ आला आहे. ग्रीकांनी पर्शियन लोकांचा पराभव केला (मॅरेथॉन 490, ब्लॉक 479). लोकशाही मजबूत झाली, तात्विक विचारांची नवीन केंद्रे आणि नवीन शाळा निर्माण झाल्या. पायथागोरियन अजूनही अपरिमेय संख्यांशी झगडत होते. काहींनी उपदेश केला: आम्ही हे रहस्य समजणार नाही; आम्ही केवळ अनचार्टेडवर चिंतन करू शकतो आणि आश्चर्यचकित करू शकतो. नंतरचे अधिक व्यावहारिक होते आणि त्यांनी रहस्याचा आदर केला नाही. त्या वेळी, दोन मानसिक रचना दिसू लागल्या ज्यामुळे अपरिमेय संख्या समजणे शक्य झाले. आज आपण त्यांना पुरेशी समजू शकतो ही वस्तुस्थिती युडोक्सस (इ.स.पू. ५वे शतक) याच्या मालकीची आहे आणि १९ व्या शतकाच्या शेवटी जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड यांनी युडोक्ससच्या सिद्धांताला कठोरतेच्या आवश्यकतेनुसार योग्य विकास दिला. गणितीय तर्क.
आकृत्यांचे वस्तुमान किंवा छळ
आपण संख्याशिवाय जगू शकता? आयुष्य काय असेल तरीही... आम्हाला एका काठीने शूज विकत घेण्यासाठी दुकानात जावे लागेल, ज्याची आम्ही पूर्वी पायाची लांबी मोजली होती. "मला सफरचंद हवे आहेत, अहो, हे आहे!" - आम्ही विक्रेत्यांना बाजारात दाखवू. "मॉडलिन ते नोव्ही ड्वुर माझोविकी किती अंतरावर आहे"? "खूप जवळ!"
संख्या मोजण्यासाठी वापरली जातात. त्यांच्या मदतीने, आम्ही इतर अनेक संकल्पना देखील व्यक्त करतो. उदाहरणार्थ, नकाशाचे प्रमाण दाखवते की देशाचे क्षेत्रफळ किती कमी झाले आहे. टू-टू-वन स्केल किंवा फक्त 2, वस्तुस्थिती व्यक्त करते की काहीतरी आकारात दुप्पट झाले आहे. चला गणिताने म्हणू या: प्रत्येक एकसमानता एका संख्येशी संबंधित आहे - त्याचे प्रमाण.
कार्य. आम्ही झेरोग्राफिक प्रत बनवली, प्रतिमेला अनेक वेळा मोठे केले. नंतर वाढवलेला तुकडा पुन्हा b वेळा मोठा केला गेला. सामान्य मॅग्निफिकेशन स्केल काय आहे? उत्तर: a × b ला b ने गुणाकार. हे स्केल गुणाकार करणे आवश्यक आहे. "वजा एक" संख्या, -1, एका अचूकतेशी संबंधित आहे जी मध्यभागी आहे, म्हणजेच 180 अंश फिरवली आहे. कोणती संख्या 90 अंश वळणाशी संबंधित आहे? असा कोणताही आकडा नाही. ते आहे, ते आहे… किंवा त्याऐवजी, ते लवकरच होईल. तुम्ही नैतिक अत्याचारासाठी तयार आहात का? धैर्य धरा आणि वजा एक चे वर्गमूळ घ्या. मी ऐकतोय का? आपण काय करू शकत नाही? शेवटी, मी तुला धाडसी हो असे सांगितले. ते बाहेर काढ! अहो, बरं, खेचा, ओढा... मी मदत करेन... इथे: -1 आता आपल्याकडे ते आहे, आपण ते वापरण्याचा प्रयत्न करूया... अर्थात, आता आपण सर्व ऋण संख्यांची मुळे काढू शकतो. उदाहरण.:
√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1
"त्याचा मानसिक त्रास कितीही असो." गिरोलामो कार्डानो यांनी 1539 मध्ये लिहिलेल्या मानसिक अडचणींवर मात करण्याचा प्रयत्न केला - ज्याला लवकरच म्हणतात - काल्पनिक परिमाण. त्यांनी या गोष्टींचा विचार केला...
...कार्य. 10 ला दोन भागांमध्ये विभाजित करा, ज्याचे उत्पादन 40 आहे. मला आठवते की मागील भागातून त्याने असे काहीतरी लिहिले आहे: नक्कीच अशक्य आहे. तथापि, हे करूया: 10 ला दोन समान भागांमध्ये विभाजित करा, प्रत्येक 5 च्या बरोबरीने करा. त्यांना गुणाकार करा - ते 25 झाले. परिणामी 25 मधून, आता तुम्हाला आवडत असल्यास 40 वजा करा आणि तुम्हाला -15 मिळेल. आता पहा: √-15 जोडले आणि 5 मधून वजा केल्याने तुम्हाला 40 चे गुण मिळतात. या 5-√-15 आणि 5 + √-15 संख्या आहेत. निकालाची पडताळणी कार्डानोने खालीलप्रमाणे केली:
“हृदयदुखीची पर्वा न करता, 5 + √-15 ला 5-√-15 ने गुणा. आम्हाला 25% (-15) मिळते, जे 25 + 15 च्या बरोबरीचे आहे. तर, उत्पादन 40 आहे .... हे खरोखर कठीण आहे."
बरं, किती आहे: (1 + √-1) (1-√-1)? चला गुणाकार करूया. लक्षात ठेवा √-1 × √-1 = -1. मस्त. आता आणखी कठीण काम: a + b√-1 ते ab√-1. काय झालं? नक्कीच, याप्रमाणे: (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
याबद्दल मनोरंजक काय आहे? उदाहरणार्थ, आम्ही "आधी माहित नव्हतो" अशा अभिव्यक्तींचे घटक बनवू शकतो. साठी संक्षिप्त गुणाकार सूत्र2-b2 साठीचे सूत्र आठवते का2+b2 ते नव्हते, कारण ते असू शकत नाही. वास्तविक संख्यांच्या डोमेनमध्ये, बहुपद2+b2 ते अटळ आहे. i या अक्षराने "वजा एक" चे "आपले" वर्गमूळ दर्शवू.2= -1. ही एक "अवास्तव" मूळ संख्या आहे. आणि हेच विमानाच्या 90 अंश वळणाचे वर्णन करते. का? शेवटी,2= -1, आणि एक 90-डिग्री रोटेशन आणि दुसरे 180-डिग्री रोटेशन एकत्रित केल्याने 45-डिग्री रोटेशन मिळते. कोणत्या प्रकारच्या रोटेशनचे वर्णन केले जात आहे? साहजिकच XNUMX अंश वळण. -मी म्हणजे काय? हे थोडे अधिक क्लिष्ट आहे:
(-मी)2 = -i × (-i) = + i2 = -1
तर -i 90 अंश रोटेशनचे देखील वर्णन करतो, i च्या रोटेशनच्या अगदी विरुद्ध दिशेने. कोणते डावे आणि कोणते उजवे? तुम्हाला अपॉइंटमेंट घेणे आवश्यक आहे. आम्ही असे गृहीत धरतो की गणितज्ञ ज्या दिशेला सकारात्मक मानतात त्या दिशेने मी एक रोटेशन निर्दिष्ट करते: घड्याळाच्या उलट दिशेने. संख्या -i पॉइंटर ज्या दिशेने फिरत आहेत त्या दिशेने फिरण्याचे वर्णन करते.
पण i आणि -i सारख्या संख्या अस्तित्वात आहेत का? आहेत! आम्ही फक्त त्यांना जिवंत केले. मी ऐकतोय का? ते फक्त आपल्या डोक्यात अस्तित्वात आहेत? बरं काय अपेक्षा करायची? इतर सर्व संख्या देखील फक्त आपल्या मनात अस्तित्वात आहेत. आपल्या नवजात मुलांची संख्या टिकून आहे की नाही हे आपल्याला पाहण्याची गरज आहे. अधिक तंतोतंत, डिझाइन तार्किक आहे की नाही आणि ते एखाद्या गोष्टीसाठी उपयुक्त ठरतील की नाही. कृपया सर्व काही व्यवस्थित आहे आणि हे नवीन नंबर खरोखर उपयुक्त आहेत यासाठी माझा शब्द घ्या. 3+i, 5-7i, अधिक सामान्यपणे: a+bi सारख्या संख्यांना जटिल संख्या म्हणतात. विमान फिरवून तुम्ही ते कसे मिळवू शकता हे मी तुम्हाला दाखवले. ते वेगवेगळ्या प्रकारे प्रविष्ट केले जाऊ शकतात: समतल बिंदू म्हणून, काही बहुपदी, काही प्रकारचे संख्यात्मक अॅरे म्हणून ... आणि प्रत्येक वेळी ते समान असतात: समीकरण x2 +1=0 कोणताही घटक नाही... होकस पोकस आधीच आहे!!!! चला आनंद आणि आनंद करूया !!!
दौरा संपला
बनावट क्रमांकांच्या देशात आमचा पहिला दौरा संपतो. इतर अतुलनीय संख्यांपैकी, मी त्या संख्यांचा देखील उल्लेख करेन ज्यांच्या समोर अनंत संख्या आहेत आणि मागे नाहीत (त्यांना 10-अॅडिक म्हणतात, आमच्यासाठी p-adic अधिक महत्वाचे आहेत, जेथे p ही अविभाज्य संख्या आहे), कारण उदाहरण X = ...... 96109004106619977392256259918212890625
कृपया X मोजूया2. म्हणून? अनंत संख्येच्या अंकांच्या पाठोपाठ एखाद्या संख्येचा वर्ग मोजला तर? बरं, तेच करूया. आम्हाला माहित आहे की एक्स2 = एक्स.
समीकरणाचे समाधान करणारी अशी दुसरी संख्या समोर असीम संख्या असलेली संख्या शोधू. इशारा: सहा ने संपणाऱ्या संख्येचा वर्गही सहा ने संपतो. 76 ने संपणाऱ्या संख्येचा वर्गही 76 ने संपतो. 376 ने संपणाऱ्या संख्येचा वर्गही 376 ने संपतो. 9376 ने संपणाऱ्या संख्येचा वर्गही 9376 मध्ये संपतो. मध्ये संपणाऱ्या संख्येचा वर्ग XNUMX रोजी… अशा संख्या देखील आहेत ज्या इतक्या लहान आहेत की, सकारात्मक असल्याने, त्या इतर कोणत्याही सकारात्मक संख्येपेक्षा लहान राहतात. ते इतके लहान आहेत की कधीकधी शून्य मिळविण्यासाठी त्यांचा वर्ग करणे पुरेसे असते. अशी संख्या आहेत जी a × b = b × a ची अट पूर्ण करत नाहीत. अनंत संख्या देखील आहेत. किती नैसर्गिक संख्या आहेत? असीम अनेक? होय, पण किती? हे संख्या म्हणून कसे व्यक्त केले जाऊ शकते? उत्तर: अनंत संख्यांपैकी सर्वात लहान; ते एका सुंदर अक्षराने चिन्हांकित केले आहे: A आणि शून्य निर्देशांक A सह पूरक0 , aleph-शून्य.
अशी संख्या देखील आहेत जी आम्हाला माहित नाहीत की अस्तित्वात आहेत... किंवा तुम्ही तुमच्या इच्छेनुसार विश्वास ठेवू शकता किंवा अविश्वास करू शकता. आणि यासारखे बोलणे: मला आशा आहे की तुम्हाला अजूनही अवास्तव संख्या, काल्पनिक प्रजाती संख्या आवडतील.
