सिफर आणि हेर

आजच्या मॅथ कॉर्नरमध्ये, मी नॅशनल चिल्ड्रन फाऊंडेशनच्या मुलांसाठीच्या वार्षिक विज्ञान शिबिरात चर्चा केलेल्या विषयावर एक नजर टाकणार आहे. फाउंडेशन वैज्ञानिक रूची असलेल्या मुलांना आणि तरुणांना शोधत आहे. तुम्‍हाला अत्‍यंत प्रतिभाशाली असण्‍याची आवश्‍यकता नाही, परंतु तुमच्‍याकडे "वैज्ञानिक स्‍ट्रीक" असणे आवश्‍यक आहे. खूप चांगले शालेय ग्रेड आवश्यक नाहीत. हे करून पहा, तुम्हाला ते आवडेल. तुम्ही वरिष्ठ प्राथमिक शाळा किंवा हायस्कूलचे विद्यार्थी असल्यास, अर्ज करा. सहसा पालक किंवा शाळा अहवाल तयार करतात, परंतु हे नेहमीच होत नाही. फाउंडेशनची वेबसाइट शोधा आणि शोधा.

पूर्वी "प्रोग्रामिंग" म्हणून ओळखल्या जाणार्‍या क्रियाकलापाचा संदर्भ देत "कोडिंग" बद्दल शाळेत अधिक आणि अधिक चर्चा होत आहे. सैद्धांतिक शिक्षकांसाठी ही एक सामान्य प्रक्रिया आहे. ते जुन्या पद्धती खोदतात, त्यांना नवीन नाव देतात आणि "प्रगती" स्वतःच होते. अशी अनेक क्षेत्रे आहेत जिथे अशी चक्रीय घटना घडते.

मी उपदेशाचे अवमूल्यन करतो असा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो. नाही. सभ्यतेच्या विकासामध्ये, आपण कधीकधी जे होते, सोडून दिले होते आणि आता पुनरुज्जीवित केले जात आहे त्याकडे परत येतो. पण आपला कोपरा गणिती आहे, तात्विक नाही.

विशिष्ट समुदायाशी संबंधित म्हणजे "सामान्य चिन्हे", सामान्य वाचन, म्हणी आणि बोधकथा. ज्याने पोलिश भाषा उत्तम प्रकारे शिकली आहे “शेब्रझेझिनमध्ये एक मोठी झाडी आहे, एक बीटल रीड्समध्ये गुंजत आहे” लाकूडपेकर काय करत आहे या प्रश्नाचे उत्तर न दिल्यास तो त्वरित परदेशी राज्याचा गुप्तहेर म्हणून उघड होईल. अर्थात तो गुदमरतोय!

हा केवळ विनोद नाही. डिसेंबर 1944 मध्ये, जर्मन लोकांनी मोठ्या खर्चाने आर्डेनेसमध्ये त्यांचे शेवटचे आक्रमण सुरू केले. त्यांनी सहयोगी सैन्याच्या हालचालींमध्ये अडथळा आणण्यासाठी अस्खलित इंग्रजी बोलणाऱ्या सैनिकांना एकत्र केले, उदाहरणार्थ त्यांना क्रॉसरोडवर चुकीच्या दिशेने नेले. काही क्षण आश्चर्यचकित झाल्यानंतर, अमेरिकन सैनिकांना संशयास्पद प्रश्न विचारू लागले, ज्याची उत्तरे टेक्सास, नेब्रास्का किंवा जॉर्जियामधील एखाद्या व्यक्तीसाठी स्पष्ट होतील आणि जो तेथे मोठा झाला नाही अशा व्यक्तीसाठी अकल्पनीय असेल. वास्तविकतेच्या अज्ञानामुळे थेट फाशी झाली.

मुद्द्याला धरून. मी वाचकांना लुकाझ बडोव्स्की आणि झास्लाव अदामाशेक यांच्या पुस्तकाची शिफारस करतो "डेस्क ड्रॉवरमधील प्रयोगशाळा - गणित". हे एक अद्भुत पुस्तक आहे जे उत्कृष्टपणे दर्शविते की गणित खरोखर एखाद्या गोष्टीसाठी उपयुक्त आहे आणि "गणित प्रयोग" हे रिक्त शब्द नाहीत. यात, इतर गोष्टींबरोबरच, "कार्डबोर्ड एनिग्मा" चे वर्णन केलेले बांधकाम समाविष्ट आहे - एक असे उपकरण जे तयार करण्यासाठी आम्हाला फक्त पंधरा मिनिटे लागतील आणि जे गंभीर सायफर मशीनसारखे कार्य करेल. कल्पना स्वतःच इतकी प्रसिद्ध होती, उल्लेख केलेल्या लेखकांनी ती सुंदरपणे तयार केली आणि मी ती थोडी बदलून अधिक गणिताच्या कपड्यांमध्ये गुंडाळून ठेवेन.

हॅकसॉ

वॉर्सा उपनगरातील माझ्या डाचा गावातील एका रस्त्यावर, फरसबंदी नुकतीच “ट्रिलिंका” - षटकोनी फरसबंदी स्लॅबमधून उखडली गेली. प्रवास अस्वस्थ होता, परंतु गणितज्ञांच्या आत्म्याला आनंद झाला. नियमित (म्हणजे नियमित) बहुभुजांसह विमान झाकणे सोपे नाही. हे फक्त त्रिकोण, चौरस आणि नियमित षटकोनी असू शकते.

कदाचित मी या आध्यात्मिक आनंदाने थोडा विनोद केला, परंतु षटकोनी एक सुंदर आकृती आहे. त्यातून तुम्ही बर्‍यापैकी यशस्वी एन्क्रिप्शन डिव्हाइस बनवू शकता. भूमिती मदत करेल. षटकोनामध्ये रोटेशनल सममिती असते - 60 अंशांच्या गुणाकाराने फिरवल्यास ते स्वतःला ओव्हरलॅप करते. फील्ड चिन्हांकित केले आहे, उदाहरणार्थ, वरच्या डावीकडील अक्षर A सह अंजीर 1 या कोनातून वळल्यानंतर, ते बॉक्स A मध्ये देखील येईल - आणि इतर अक्षरांसह तेच. चला तर मग ग्रिडमधून सहा चौरस कापू या, प्रत्येकाला वेगळे अक्षर. आम्ही अशा प्रकारे प्राप्त केलेला ग्रिड कागदाच्या शीटवर ठेवतो. विनामूल्य सहा फील्डमध्ये, आम्ही एन्क्रिप्ट करू इच्छित मजकूराची सहा अक्षरे प्रविष्ट करा. चला शीट 60 अंश फिरवू. सहा नवीन फील्ड दिसतील - आमच्या संदेशाची पुढील सहा अक्षरे प्रविष्ट करा.

तांदूळ. 1. गणिताच्या आनंदाचे तुकडे.

उजवीकडे अंजीर 1 आमच्याकडे या प्रकारे एन्कोड केलेला मजकूर आहे: "स्थानकावर एक प्रचंड हेवी स्टीम लोकोमोटिव्ह आहे."

आता थोडे शाळेचे गणित हातात येईल. दोन संख्या एकमेकांच्या सापेक्ष किती प्रकारे मांडल्या जाऊ शकतात?

काय मूर्ख प्रश्न? दोनसाठी: एकतर समोर किंवा दुसरा.

ठीक आहे. आणि तीन संख्या?

सर्व सेटिंग्ज सूचीबद्ध करणे देखील अवघड नाही:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

बरं, ते चारसाठी आहे! हे अद्याप स्पष्टपणे उच्चारले जाऊ शकते. मी ठेवलेल्या ऑर्डर नियमाचा अंदाज घ्या:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

जेव्हा अंक पाच असतात, तेव्हा आम्हाला 120 संभाव्य सेटिंग्ज मिळतात. चला त्यांना कॉल करूया क्रमपरिवर्तन. n संख्यांच्या संभाव्य क्रमपरिवर्तनांची संख्या म्हणजे उत्पादन 1 2 3 ... n, म्हणतात मजबूत आणि उद्गार बिंदूने चिन्हांकित केले आहे: 3!=6, 4!=24, 5!=120. पुढील क्रमांक 6 साठी आपल्याकडे 6 आहे!=720. आमची षटकोनी सायफर शील्ड अधिक जटिल करण्यासाठी आम्ही याचा वापर करू.

आम्ही 0 ते 5 मधील संख्यांचे क्रमपरिवर्तन निवडतो, उदाहरणार्थ 351042. आमच्या षटकोनी स्क्रॅम्बलिंग डिस्कमध्ये मधल्या फील्डमध्ये एक डॅश आहे - जेणेकरून ते "शून्य स्थितीत" ठेवता येईल - अंजीर प्रमाणे डॅश अप. 1. आम्ही अशा प्रकारे डिस्क कागदाच्या एका शीटवर ठेवतो ज्यावर आम्हाला आमचा अहवाल लिहायचा आहे, परंतु आम्ही ते लगेच लिहित नाही, परंतु 60 अंशांनी (म्हणजे 180 अंश) तीन वेळा फिरवा आणि सहा अक्षरे प्रविष्ट करा. रिकामी फील्ड. आम्ही प्रारंभिक स्थितीकडे परत येतो. आम्ही डायल पाच वेळा 60 अंशाने वळवतो, म्हणजेच आमच्या डायलच्या पाच "दात" ने. आम्ही छापतो. पुढील स्केल स्थिती म्हणजे शून्याभोवती 60 अंश फिरवलेले स्थान. चौथी स्थिती 0 अंश आहे, ही प्रारंभिक स्थिती आहे.

काय झाले समजले का? आमच्याकडे एक अतिरिक्त संधी आहे - आमच्या "मशीन" ला सातशेपेक्षा जास्त वेळा क्लिष्ट करण्याची! तर, आमच्याकडे "ऑटोमॅटन" चे दोन स्वतंत्र स्थान आहेत - ग्रिडची निवड आणि क्रमपरिवर्तनाची निवड. ग्रिड 66 = 46656 मार्गांनी निवडले जाऊ शकते, क्रमपरिवर्तन 720. हे 33592320 शक्यता देते. 33 दशलक्षाहून अधिक सायफर! जवळजवळ थोडे कमी, कारण काही ग्रिड कागदाच्या बाहेर कापले जाऊ शकत नाहीत.

खालच्या भागात अंजीर 1 आमच्याकडे असा संदेश आहे: "मी तुम्हाला चार पॅराशूट विभाग पाठवत आहे." हे समजणे सोपे आहे की शत्रूला याची जाणीव होऊ देऊ नये. पण त्याला यापैकी काही समजेल का:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

यल्लोकवमदेयचेश,

अगदी स्वाक्षरी 351042 सह?

आम्ही जर्मन सायफर मशीन एनिग्मा तयार करत आहोत

तांदूळ. 2. आमच्या एन्क्रिप्शन मशीनच्या प्रारंभिक सेटअपचे उदाहरण.

क्रमपरिवर्तन (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

मी आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, "लॅब इन अ ड्रॉवर - मॅथेमॅटिक्स" या पुस्तकासाठी असे कार्डबोर्ड मशीन तयार करण्याच्या कल्पनेचे मी ऋणी आहे. माझे "बांधकाम" त्याच्या लेखकांनी दिलेल्या एकापेक्षा काहीसे वेगळे आहे.

युद्धादरम्यान जर्मन लोकांनी वापरलेल्या सायफर मशीनमध्ये कल्पकतेने साधे तत्त्व होते, जे काहीसे आपण हेक्स सायफरसह पाहिले होते. प्रत्येक वेळी समान गोष्ट: दुसर्‍या पत्राला पत्राची कठोर असाइनमेंट खंडित करा. ते बदलण्यायोग्य असणे आवश्यक आहे. त्यावर नियंत्रण ठेवण्यासाठी ते कसे करावे?

चला कोणतेही क्रमपरिवर्तन न करता निवडू या ज्याची लांबी 2 ची चक्रे आहेत. सोप्या भाषेत सांगायचे तर, काही महिन्यांपूर्वी येथे वर्णन केलेल्या "गदेरीपोलुक" सारखे काहीतरी, परंतु वर्णमालाची सर्व अक्षरे समाविष्ट आहेत. चला 24 अक्षरांवर सहमत होऊ - ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. असे क्रमपरिवर्तन किती? हे हायस्कूल पदवीधरांसाठी एक कार्य आहे (त्यांनी ते त्वरित सोडविण्यास सक्षम असावे). किती? भरपूर? काही हजार? होय:

1912098225024001185793365052108800000000 (हा क्रमांक वाचण्याचा प्रयत्नही करू नका). "शून्य" स्थिती सेट करण्याच्या अनेक शक्यता आहेत. आणि ते कठीण होऊ शकते.

आमच्या मशीनमध्ये दोन गोल डिस्क असतात. त्यापैकी एकावर, जो अजूनही उभा आहे, अक्षरे लिहिली आहेत. हे थोडेसे जुन्या फोनच्या डायलसारखे आहे, जिथे तुम्ही डायल संपूर्णपणे फिरवून नंबर डायल केला. रोटरी रंगसंगतीसह दुसरे आहे. पिन वापरून त्यांना नियमित कॉर्कवर ठेवणे हा सर्वात सोपा मार्ग आहे. कॉर्कऐवजी, आपण पातळ बोर्ड किंवा जाड पुठ्ठा वापरू शकता. Lukasz Badowski आणि Zasław Adamaszek दोन्ही डिस्क सीडी बॉक्समध्ये ठेवण्याची शिफारस करतात.

कल्पना करा की आम्हाला ARMATY हा शब्द एन्कोड करायचा आहे (तांदूळ. 2 आणि 3). डिव्हाइसला शून्य स्थानावर सेट करा (बाण वर). अक्षर A हे F शी संबंधित आहे. अंतर्गत सर्किट एक अक्षर उजवीकडे फिरवा. आपल्याकडे एन्कोड करण्यासाठी R हे अक्षर आहे, आता ते A शी संबंधित आहे. पुढील रोटेशननंतर, आपण पाहतो की M अक्षर U शी संबंधित आहे. पुढील रोटेशन (चौथा आकृती) पत्रव्यवहार A - P देते. पाचव्या डायलवर आपल्याकडे T आहे. - A. शेवटी (सहावे वर्तुळ) Y – Y शत्रू कदाचित अंदाज लावणार नाही की आमचे CFCFA त्याच्यासाठी धोकादायक असतील. आणि "आमचे" डिस्पॅच कसे वाचतील? त्यांच्याकडे समान मशीन असणे आवश्यक आहे, समान "प्रोग्राम केलेले", म्हणजेच समान क्रमपरिवर्तनासह. सायफर शून्य स्थितीपासून सुरू होते. तर F चे मूल्य A आहे. डायल घड्याळाच्या दिशेने वळा. A हे अक्षर आता R शी संबंधित आहे. तो डायल उजवीकडे वळवतो आणि U या अक्षराखाली M वगैरे सापडतो. सायफर क्लर्क जनरलकडे धावतो: "जनरल, मी रिपोर्ट करत आहे, बंदुका येत आहेत!"

तांदूळ. 3. आमच्या पेपर एनिग्माच्या ऑपरेशनचे सिद्धांत.

तांदूळ. 3. आमच्या पेपर एनिग्माच्या ऑपरेशनचे सिद्धांत.

अगदी अशा आदिम एनिग्माच्या शक्यता आश्चर्यकारक आहेत. आपण इतर आउटपुट क्रमपरिवर्तन निवडू शकतो. आम्ही करू शकतो - आणि येथे आणखी संधी आहेत - नियमितपणे एका "सेरिफ" द्वारे नाही, परंतु एका विशिष्ट, दररोज बदलत्या क्रमाने, षटकोनाप्रमाणेच (उदाहरणार्थ, प्रथम तीन अक्षरे, नंतर सात, नंतर आठ, चार ... .. इ.).

आपण अंदाज कसा लावू शकता ?! आणि तरीही पोलिश गणितज्ञांसाठी (मारियन रीव्हस्की, हेन्री झिगाल्स्की, Jerzy Ruzicki) झाले. त्यामुळे मिळालेली माहिती अमूल्य होती. यापूर्वी, आमच्या संरक्षणाच्या इतिहासात त्यांचे तितकेच महत्त्वाचे योगदान होते. व्हॅक्लाव सिएरपिन्स्की i स्टॅनिस्लाव माझुरकेविचज्याने 1920 मध्ये रशियन सैन्याच्या संहितेचे उल्लंघन केले. अडवलेल्या केबलने पिलसुडस्कीला वेप्सझ नदीवरून प्रसिद्ध युक्ती करण्याची संधी दिली.

मला वास्लाव सिएरपिन्स्की (1882-1969) आठवते. ज्यांच्यासाठी बाहेरचे जग अस्तित्वात नव्हते अशा गणितज्ञासारखा तो दिसत होता. 1920 मध्ये लष्करी आणि ... राजकीय कारणांमुळे (पोलिश पीपल्स रिपब्लिकच्या अधिकार्‍यांना सोव्हिएत युनियनपासून आमचा बचाव करणाऱ्यांना आवडले नाही) XNUMX च्या विजयात सहभागाबद्दल तो बोलू शकला नाही.

तांदूळ. 4. क्रमपरिवर्तन (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

तांदूळ. 5. सुंदर सजावट, परंतु एनक्रिप्शनसाठी योग्य नाही. खूप नियमितपणे.

कार्य 1. Na अंजीर 4 एनिग्मा तयार करण्यासाठी तुमच्याकडे आणखी एक क्रमपरिवर्तन आहे. झेरोग्राफवर रेखाचित्र कॉपी करा. कार तयार करा, तुमचे नाव आणि आडनाव कोड करा. माझे CWONUE JTRYGT. तुम्हाला तुमच्या नोट्स खाजगी ठेवायची असल्यास, कार्डबोर्ड एनिग्मा वापरा.

कार्य 2. तुम्ही पाहिलेल्या "कार" पैकी एकाचे तुमचे नाव आणि आडनाव कूटबद्ध करा, परंतु (लक्ष!) अतिरिक्त गुंतागुंतीसह: आम्ही एक खाच उजवीकडे वळवत नाही, परंतु योजनेनुसार {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - म्हणजे, प्रथम एकाने, नंतर दोन, नंतर तीन, नंतर 2, नंतर पुन्हा 1, नंतर 2, इत्यादी, असे “वेव्हलेट” . माझे नाव आणि आडनाव CZTTAK SDBITH म्हणून एन्क्रिप्ट केलेले असल्याची खात्री करा. एनिग्मा मशीन किती शक्तिशाली होती हे आता तुम्हाला समजले आहे का?

हायस्कूल पदवीधरांसाठी समस्या सोडवणे. एनिग्मासाठी किती कॉन्फिगरेशन पर्याय आहेत (या आवृत्तीमध्ये, लेखात वर्णन केल्याप्रमाणे)? आमच्याकडे 24 अक्षरे आहेत. आम्ही अक्षरांची पहिली जोडी निवडतो - हे यावर केले जाऊ शकते

मार्ग पुढील जोडी वर निवडली जाऊ शकते

मार्ग, अधिक

इ. संबंधित गणनेनंतर (सर्व संख्यांचा गुणाकार केला पाहिजे), आम्हाला मिळेल

151476660579404160000

मग त्या संख्येला 12 ने भागा! (12 फॅक्टोरियल), कारण समान जोड्या वेगळ्या क्रमाने मिळू शकतात. तर शेवटी आपल्याला "एकूण" मिळते

316234143225,

ते फक्त 300 अब्जांपेक्षा जास्त आहे, जे आजच्या सुपरकॉम्प्युटरसाठी आश्चर्यकारकपणे मोठ्या संख्येसारखे वाटत नाही. तथापि, जर क्रमपरिवर्तनांचा यादृच्छिक क्रम लक्षात घेतला तर ही संख्या लक्षणीय वाढते. आपण इतर प्रकारच्या क्रमपरिवर्तनांचा देखील विचार करू शकतो.

हे देखील पहा: