काहीही बद्दल लेख

लहानपणी, मला "नखेवर सूप" या कथेने भुरळ घातली होती, बहुधा अनेक वाचकांना माहीत होते. माझ्या आजीने (जन्माचे XNUMXवे शतक) मला हे आवृत्तीत सांगितले "कोसॅक आला आणि त्याने पाणी मागितले, कारण त्याला एक खिळा आहे आणि तो त्यावर सूप शिजवेल." एका जिज्ञासू परिचारिकाने त्याला पाण्याचे भांडे दिले ... आणि पुढे काय झाले ते आम्हाला माहित आहे: "सूप खारट, दैत्ये, आजी, मीठ असावे", नंतर त्याने "चव सुधारण्यासाठी" मांस धुतले आणि असेच. शेवटी, त्याने "उकडलेले" खिळे फेकून दिले.

त्यामुळे हा लेख अवकाशाच्या रिकामेपणाबद्दल असायला हवा होता - आणि हे 67 नोव्हेंबर 12 रोजी धूमकेतू 2014P/Churyumov-Gerasimenko वर युरोपियन उपकरणाच्या लँडिंगबद्दल आहे. पण लिहिताना, मी एका दीर्घकाळाच्या सवयीला बळी पडलो, मी अजूनही गणितज्ञ आहे. सोबत कसे आहे आवडलेс शून्य गणित?

काहीही अस्तित्वात कसे नाही?

असे म्हणता येणार नाही की काहीही अस्तित्वात नाही. हे किमान तात्विक, गणितीय, धार्मिक आणि उत्तम बोलचाल संकल्पना म्हणून अस्तित्वात आहे. शून्य ही एक सामान्य संख्या आहे, थर्मामीटरवरील शून्य अंश हे देखील एक तापमान आहे आणि बँकेत शून्य शिल्लक ही एक अप्रिय परंतु सामान्य घटना आहे. लक्षात घ्या की कालगणनेमध्ये कोणतेही शून्य वर्ष नाही आणि याचे कारण असे की गणितामध्ये शून्याची ओळख फक्त मध्ययुगाच्या उत्तरार्धात झाली, नंतर भिक्षु डायोनिसियस (XNUMXवे शतक) यांनी सुचविलेल्या कालगणनेपेक्षा नंतर.

विचित्रपणे, आपण या शून्याशिवाय आणि म्हणून, ऋण संख्यांशिवाय खरोखर करू शकतो. तर्कशास्त्रावरील एका पाठ्यपुस्तकात, मला एक व्यायाम सापडला: माशांच्या अनुपस्थितीची कल्पना कशी करता ते काढा किंवा सांगा. आश्चर्यकारक, नाही का? कोणीही मासा काढू शकतो, पण एक नाही?

आता थोडक्यात मूलभूत गणित अभ्यासक्रम. क्रॉस-आउट वर्तुळ ∅ ने चिन्हांकित केलेल्या रिकाम्या संचाला अस्तित्वाचा विशेषाधिकार देणे ही संख्यांच्या संचामध्ये शून्य जोडण्यासारखी आवश्यक प्रक्रिया आहे. रिक्त संच हा एकमेव संच आहे ज्यामध्ये कोणतेही घटक नसतात. असे संग्रह:

पण दोन भिन्न रिकामे संच नाहीत. रिकामा संच इतर प्रत्येक संचामध्ये समाविष्ट आहे:

खरंच, गणितीय तर्कशास्त्राचे नियम म्हणतात की संच A हा संच B मध्ये असतो जर आणि फक्त वाक्य असेल तर:

ते समाविष्ट आहे

रिक्त संच ∅ च्या बाबतीत, प्रस्ताव नेहमी खोटा असतो आणि अशा प्रकारे, तर्कशास्त्राच्या नियमांनुसार, मतितार्थ सामान्यतः सत्य असतो. सर्व काही खोट्यापासून उद्भवते ("तुम्ही पुढच्या वर्गात गेल्यास मी येथे कॅक्टस वाढवीन ..."). तर, रिकामा संच इतर प्रत्येकामध्ये समाविष्ट असल्याने, जर ते दोन भिन्न असतील तर, त्यातील प्रत्येक दुसर्‍यामध्ये समाविष्ट असेल. तथापि, जर दोन संच एकमेकांमध्ये असतील तर ते समान आहेत. म्हणूनच: फक्त एक रिकामा संच आहे!

रिकाम्या संचाच्या अस्तित्वाचा सिद्धांत गणिताच्या कोणत्याही नियमांचा विरोध करत नाही, मग ते जिवंत का करू नये? तात्विक तत्त्व म्हणतातOccam चा वस्तरा» अनावश्यक संकल्पना वगळण्याचा आदेश, परंतु अगदी योग्य रिकामे संच ही संकल्पना गणितात खूप उपयुक्त आहे. लक्षात घ्या की रिकाम्या संचाचे परिमाण -1 (वजा एक) आहे - शून्य-आयामी घटक हे बिंदू आहेत आणि त्यांची विरळ प्रणाली, एक-आयामी घटक रेषा आहेत आणि आम्ही फ्रॅक्टल्सच्या अध्यायात फ्रॅक्टल डायमेंशन असलेल्या अतिशय जटिल गणिती घटकांबद्दल बोललो. .

हे मनोरंजक आहे की गणिताची संपूर्ण इमारत: संख्या, संख्या, कार्ये, ऑपरेटर, अविभाज्य, भिन्नता, समीकरणे ... एका संकल्पनेतून मिळू शकतात - रिक्त संच! रिक्त संच आहे असे गृहीत धरणे पुरेसे आहे, नवीन तयार केलेले घटक सक्षम होण्यासाठी सेटमध्ये एकत्र केले जाऊ शकतात सर्व गणित तयार करा. अशा प्रकारे जर्मन तर्कशास्त्रज्ञ गॉटलॉब फ्रेगे यांनी नैसर्गिक संख्या तयार केल्या. शून्य हा संचांचा एक वर्ग आहे ज्याचे घटक रिकाम्या संचाच्या घटकांशी परस्पर पत्रव्यवहारात असतात. एक म्हणजे संचांचा एक वर्ग ज्याचे घटक संचाच्या घटकांशी परस्पर पत्रव्यवहारात असतात ज्यांचा एकमेव घटक रिक्त संच असतो. दोन हा संचांचा एक वर्ग आहे ज्याचे घटक रिक्त संच असलेल्या संचाच्या घटकांसह एक ते एक आहेत आणि ज्या संचाचा एकमात्र घटक रिक्त संच आहे... आणि असेच. पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हे खूप क्लिष्ट आहे असे दिसते, परंतु प्रत्यक्षात तसे नाही.

माझ्यावर निळा पसरला

हिदरचा वास आणि पुदिन्याचा वास...

वोज्शिच म्लिनार्स्की, हार्वेस्ट गर्ल

कल्पना करणे कठीण आहे

काहीही कल्पना करणे कठीण नाही. स्टॅनिस्लॉ लेमच्या "हाऊ द वर्ल्ड वॉज सेव्ह" या कथेमध्ये, डिझायनर ट्रुरलने एक मशीन तयार केली जी अक्षरापासून सुरू होणारी प्रत्येक गोष्ट करेल. जेव्हा क्लापॉशियसने ते बांधण्याचे आदेश दिले निक, मशीनने जगातील विविध वस्तू काढून टाकण्यास सुरुवात केली - सर्व काही काढून टाकण्याच्या अंतिम ध्येयासह. घाबरलेल्या क्लापॉशियसने कार थांबवली तोपर्यंत, गॅली, य्यूज, हँगिंग, हॅक्स, राइम्स, बीटर्स, पॉफ्स, ग्राइंडर, स्किवर्स, फिलिड्रॉन्स आणि फ्रॉस्ट्स जगातून कायमचे नाहीसे झाले होते. आणि खरंच, ते कायमचे गायब झाले ...

जोझेफ टिश्नरने त्याच्या हिस्ट्री ऑफ माउंटन फिलॉसॉफीमध्ये शून्यतेबद्दल खूप चांगले लिहिले आहे. माझ्या शेवटच्या सुट्टीत, मी या शून्यतेचा अनुभव घेण्याचे ठरवले, ते म्हणजे, मी पोधाले येथील नोव्ही टार्ग आणि जब्लोन्का दरम्यानच्या पीट बोग्समध्ये गेलो. या भागाला पुस्ताचिया असेही म्हणतात. तुम्ही जा, तुम्ही जा, पण रस्ता कमी होत नाही - अर्थातच आमच्या माफक, पोलिश स्केलवर. एके दिवशी मी कॅनडाच्या सस्काचेवान प्रांतात बस पकडली. बाहेर मक्याचे शेत होते. मी अर्धा तास झोप घेतली. मला जाग आली तेव्हा आम्ही त्याच कॉर्नफील्डमधून गाडी चालवत होतो... पण थांबा, हे रिकामे आहे का? एका अर्थाने, बदलाची अनुपस्थिती ही केवळ शून्यता आहे.

आपल्या सभोवतालच्या विविध वस्तूंच्या सतत उपस्थितीची आपल्याला सवय आहे, आणि पासून काहीतरी डोळे मिटूनही पळून जाता येत नाही. "मला वाटते, म्हणून मी आहे," डेकार्टेस म्हणाला. जर मी आधीच काहीतरी विचार केला असेल, तर मी अस्तित्वात आहे, याचा अर्थ जगात किमान काहीतरी आहे (म्हणजे, मी). मला वाटले ते अस्तित्वात आहे का? यावर चर्चा केली जाऊ शकते, परंतु आधुनिक क्वांटम मेकॅनिक्समध्ये, हायझेनबर्ग तत्त्व ज्ञात आहे: प्रत्येक निरीक्षण निरीक्षण केलेल्या वस्तूच्या स्थितीला त्रास देते. जोपर्यंत आपण ते पाहतो निक ते अस्तित्वात नाही, आणि जेव्हा आपण पाहू लागतो, तेव्हा ती वस्तू राहणे बंद होते आवडले आणि ते बनते काहीतरी. ते बेताल होत आहे मानववंशीय तत्त्व: आपण अस्तित्वात नसतो तर जग कसे असेल हे विचारण्यात अर्थ नाही. जग हेच आपल्याला दिसते. कदाचित इतर प्राणी पृथ्वीला कोणीतरी पाहतील?

पॉझिट्रॉन (असे सकारात्मक इलेक्ट्रॉन) अंतराळातील एक छिद्र आहे, "तेथे कोणतेही इलेक्ट्रॉन नाही." नष्ट होण्याच्या प्रक्रियेत, इलेक्ट्रॉन या छिद्रात उडी मारतो आणि "काहीही घडत नाही" - तेथे कोणतेही छिद्र नाही, इलेक्ट्रॉन नाही. मी स्विस चीजमधील छिद्रांबद्दल बरेच विनोद सोडून देईन ("माझ्याकडे जितके जास्त आहे तितके कमी ..."). प्रसिद्ध संगीतकार जॉन केजने आधीच आपल्या कल्पना इतक्या प्रमाणात वापरल्या होत्या की त्याने संगीताचा एक तुकडा (?) तयार केला ज्यामध्ये ऑर्केस्ट्रा 4 मिनिटे 33 सेकंद स्थिर बसतो आणि अर्थातच काहीही वाजवत नाही. "चार मिनिटे आणि तेहतीस सेकंद म्हणजे दोनशे बहात्तर, 273, आणि उणे 273 अंश म्हणजे निरपेक्ष शून्य, ज्यावर सर्व हालचाली थांबतात," संगीतकार (?) स्पष्ट करतात.

शून्यावर फिल्टर करा, काहीही नाही, निक, निक, काहीही, शून्य!

आंद्रेज वाजदा यांच्या ओव्हर द इयर्स चित्रपटातील जेर्झी,

दिवस निघून जातात"

सर्वांचे कसे?

बर्याच लोकांना (साध्या शेतकर्‍यांपासून ते प्रमुख तत्त्वज्ञांपर्यंत) अस्तित्वाच्या घटनेबद्दल आश्चर्य वाटले. गणितात, परिस्थिती सोपी आहे: काहीतरी सुसंगत आहे.

ती किरकोळ शेतात गायब झाली

कॉर्नफ्लॉवर, तण आणि सिंहाच्या तोंडात ...

बरं, अशा गोष्टी घडतात

विशेषतः कापणी, आणि कापणी दरम्यान

विशेषतः…

वोज्शिच म्लिनार्स्की, हार्वेस्ट गर्ल

सर्व काही नथिंगच्या दुसऱ्या टोकाला आहे. गणितात, आपल्याला ते माहित आहे सर्व काही अस्तित्वात नाही. त्याचे अस्तित्व वादापासून मुक्त होईल ही फारच चुकीची कल्पना. हे जुन्या विरोधाभासाच्या उदाहरणाद्वारे समजले जाऊ शकते: "जर देव सर्वशक्तिमान आहे, तर उचलण्यासाठी एक दगड तयार करा?" सर्व संचांचे संच असू शकत नाहीत याचा गणितीय पुरावा प्रमेयावर आधारित आहे गायक-बर्शटेन, जे म्हणते की "अनंत संख्या" (गणितीय: मुख्य क्रमांक) दिलेल्या संचाच्या सर्व सदस्यांचा संच या संचाच्या घटकांच्या संख्येपेक्षा मोठा आहे.

जर सेटमध्ये घटक असतील, तर त्यात 2 आहेतⁿ उपसंच उदाहरणार्थ, जेव्हा = 3 आणि सेटमध्ये {1, 2, 3} असतात, तेव्हा खालील उपसंच अस्तित्वात असतात:

• तीन दोन-घटक संच: त्यापैकी प्रत्येक क्रमांक 1, 2, 3 पैकी एक गहाळ आहे,
• एक रिकामा संच,
• तीन एक-घटक संच,
• संपूर्ण संच {1,2,3}

- फक्त आठ, 2³आणि ज्या वाचकांनी नुकतेच शाळेतून पदवी प्राप्त केली आहे, मी संबंधित सूत्र आठवू इच्छितो:

या सूत्रातील प्रत्येक न्यूटोनियन चिन्हे -element संचामधील k-घटक संचांची संख्या निर्धारित करते.

गणितामध्ये, द्विपदी गुणांक इतर अनेक ठिकाणी दिसतात, जसे की कमी गुणाकारासाठी मनोरंजक सूत्रांमध्ये:

आणि त्यांच्या अचूक स्वरूपावरून, त्यांचे परस्परावलंबन अधिक मनोरंजक आहे.

हे समजणे कठीण आहे - जोपर्यंत तर्कशास्त्र आणि गणिताचा संबंध आहे - काय आहे आणि सर्वकाही काय नाही. अस्तित्त्वासाठीचे युक्तिवाद विनी द पूह सारखेच आहे, ज्याने आपल्या पाहुण्या वाघाला नम्रपणे विचारले, वाघांना मध, एकोर्न आणि काटेरी फुले अजिबात आवडतात का? “वाघांना सर्व काही आवडते,” असे उत्तर दिले ज्यावरून कुबसने निष्कर्ष काढला की जर त्यांना सर्व काही आवडत असेल तर त्यांना जमिनीवर झोपायला देखील आवडते, म्हणून तो, विनी, झोपायला परत येऊ शकतो.

आणखी एक युक्तिवाद रसेलचा विरोधाभास. शहरात एक नाई आहे जो स्वतःची दाढी न करणार्‍या सर्व पुरुषांची दाढी करतो. तो स्वतःचे दाढी करतो का? दोन्ही उत्तरे समोर ठेवलेल्या अटीच्या विरोधाभासी आहेत की जे स्वतः ते करत नाहीत त्यांचीच कत्तल केली जाते.

सर्व संग्रहांचा संग्रह शोधत आहे

शेवटी, मी एक हुशार, परंतु सर्वात गणिती पुरावा देईन की सर्व संचांचा एकही संच नाही (त्यात गोंधळ होऊ नये).

प्रथम, आम्ही दर्शवू की कोणत्याही रिकाम्या नसलेल्या संच X साठी, या संचाला त्याच्या उपसंच P(X) च्या संचाशी मॅप करणारे परस्पर अद्वितीय कार्य शोधणे अशक्य आहे. तर हे फंक्शन अस्तित्वात आहे असे मानू या. पारंपारिक च द्वारे ते दर्शवू. x पासून f म्हणजे काय? हा एक संग्रह आहे. xf x च्या मालकीचे आहे का? हे अज्ञात आहे. एकतर तुम्हाला करावे लागेल किंवा नाही. परंतु काही x साठी ते असे असले पाहिजे की ते x च्या f च्या मालकीचे नाही. बरं, मग सर्व x चा संच विचारात घ्या ज्यासाठी x f(x) चा नाही. ते (हा संच) A द्वारे दर्शवा. तो X संचातील काही घटक अ शी सुसंगत आहे. a हा A चा आहे का? चला गृहीत धरूया की आपण पाहिजे. पण A हा संच आहे ज्यामध्ये x चे फक्त ते घटक आहेत जे f(x) च्या मालकीचे नाहीत... बरं, कदाचित तो A च्या मालकीचा नाही? परंतु संच A मध्ये या मालमत्तेचे सर्व घटक समाविष्ट आहेत आणि म्हणूनच A. पुराव्याचा शेवट.

म्हणून, जर सर्व संचांचा संच असेल, तर तो स्वतःचाच एक उपसंच असेल, जो मागील तर्कानुसार अशक्य आहे.

ओह, मला वाटत नाही की बर्याच वाचकांनी हा पुरावा पाहिला असेल. उलट, एकोणिसाव्या शतकाच्या शेवटी, जेव्हा त्यांनी स्वतःच्या विज्ञानाच्या पायाचा अभ्यास करण्यास सुरुवात केली तेव्हा गणितज्ञांना काय करावे लागले हे दाखवण्यासाठी मी ते आणले. असे दिसून आले की समस्या जेथे कोणीही अपेक्षित नसतात. शिवाय, संपूर्ण गणितासाठी, बेसबद्दलचे हे तर्क काही फरक पडत नाहीत: तळघरांमध्ये काहीही झाले तरी - गणिताची संपूर्ण इमारत भक्कम खडकावर उभी आहे.

दरम्यान, शीर्षस्थानी...

स्टॅनिस्लाव लेमच्या कथांमधून आम्ही आणखी एक नैतिकता लक्षात घेतो. त्याच्या एका प्रवासात, इयॉन तिची एका ग्रहावर पोहोचला ज्याचे रहिवासी, दीर्घ उत्क्रांतीनंतर, शेवटी विकासाच्या सर्वोच्च टप्प्यावर पोहोचले. ते सर्व बलवान आहेत, ते काहीही करू शकतात, त्यांच्या हातात सर्वकाही आहे… आणि ते काहीही करत नाहीत. ते वाळूवर झोपतात आणि त्यांच्या बोटांच्या दरम्यान ओततात. "जर सर्वकाही शक्य असेल तर ते फायदेशीर नाही," ते धक्का बसलेल्या इजॉनला समजावून सांगतात. आपल्या युरोपियन सभ्यतेचे असे होऊ नये...