रंगीत चौरस आणि सूर्यग्रहण

हा लेख राष्ट्रीय बाल निधी शिष्यवृत्ती प्राप्तकर्ते असलेल्या माध्यमिक शाळेतील विद्यार्थ्यांसाठी माझ्या वर्गांचे वर्णन करतो. फाऊंडेशन विशेषत: हुशार मुले आणि तरुण (प्राथमिक शाळेच्या XNUMX व्या इयत्तेपासून ते हायस्कूलपर्यंत) शोधते आणि निवडलेल्या विद्यार्थ्यांना "शिष्यवृत्ती" देते. तथापि, त्यामध्ये अजिबात रोख रक्कम काढणे समाविष्ट नाही, परंतु प्रतिभेच्या विकासासाठी सर्वसमावेशक काळजी, नियमानुसार, बर्याच वर्षांपासून. या प्रकारच्या इतर अनेक प्रकल्पांप्रमाणेच, फाऊंडेशनच्या प्रभागांना प्रसिद्ध शास्त्रज्ञ, सांस्कृतिक व्यक्ती, उत्कृष्ट मानवतावादी आणि इतर ज्ञानी लोक तसेच काही राजकारणी गांभीर्याने घेतात.

फाऊंडेशनच्या क्रियाकलापांमध्ये कलासह क्रीडा वगळता मूलभूत शालेय विषय असलेल्या सर्व विषयांचा समावेश होतो. तत्कालीन वास्तवाला उतारा म्हणून 1983 मध्ये फाउंडेशनची निर्मिती करण्यात आली. कोणीही निधीसाठी अर्ज करू शकतो (सामान्यतः शाळेद्वारे, शक्यतो शालेय वर्ष संपण्यापूर्वी), परंतु, अर्थातच, एक विशिष्ट चाळणी, एक विशिष्ट पात्रता प्रक्रिया आहे.

मी आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, लेख माझ्या मास्टर क्लासेसवर आधारित आहे, विशेषत: ग्डिनियामध्ये, मार्च 2016 मध्ये, III माध्यमिक शाळेतील 24 व्या कनिष्ठ माध्यमिक शाळेत. नौदल. विलक्षण करिष्मा आणि उच्च बौद्धिक पातळीचे शिक्षक वोज्शिच टॉमाल्झिक यांनी फाऊंडेशनच्या आश्रयाने अनेक वर्षांपासून या चर्चासत्रांचे आयोजन केले आहे. 2008 मध्ये, तो पोलंडमधील टॉप टेनमध्ये होता, ज्यांना अध्यापनशास्त्राचे प्राध्यापक (काही वर्षांपूर्वी कायद्याने प्रदान केलेले) ही पदवी देण्यात आली होती. "शिक्षण ही जगाची अक्ष आहे" हे विधान थोडी अतिशयोक्ती आहे.

आणि चंद्र नेहमी मोहित करा - मग तुम्हाला असे वाटू शकते की आपण एका मोठ्या जागेत एका लहान ग्रहावर राहतो, जिथे सर्व काही गतिमान आहे, सेंटीमीटर आणि सेकंदांमध्ये मोजले जाते. हे मला थोडे घाबरवते, वेळेच्या दृष्टीकोनातून देखील. आजच्या वॉर्सा परिसरातून दिसणारे पुढील संपूर्ण ग्रहण... 2681 मध्ये होईल हे आपण शिकतो. मला आश्चर्य वाटते की ते कोण पाहणार? आपल्या आकाशातील सूर्य आणि चंद्राचे स्पष्ट आकार जवळजवळ सारखेच आहेत - म्हणूनच ग्रहण खूप लहान आणि इतके नेत्रदीपक असतात. शतकानुशतके, हे लहान मिनिटे खगोलशास्त्रज्ञांना सौर कोरोना पाहण्यासाठी पुरेसे असावेत. हे विचित्र आहे की ते वर्षातून दोनदा घडतात... परंतु याचा अर्थ असा आहे की पृथ्वीवर कुठेतरी ते थोड्या काळासाठी दिसू शकतात. भरती-ओहोटीच्या हालचालींच्या परिणामी, चंद्र पृथ्वीपासून दूर जात आहे - 260 दशलक्ष वर्षांत तो इतका दूर असेल की आपण (आम्ही???) फक्त कंकणाकृती ग्रहण पाहू.

वरवर पाहता तो अंदाज करणारा पहिला होता ग्रहण, थेल्स ऑफ मिलेटस (28-585 शतके ईसापूर्व) होता. हे प्रत्यक्षात घडले की नाही हे आपल्याला कदाचित कळणार नाही, म्हणजे त्याने त्याचा अंदाज लावला होता की नाही, कारण आशिया मायनरमध्ये ग्रहण 567 मे, 566 ईसापूर्व घडले होते ही वस्तुस्थिती आधुनिक गणनेने पुष्टी केली आहे. अर्थात, मी आजच्या वेळेच्या मोजणीवर आधारित डेटा प्रदान करतो. जेव्हा मी लहान होतो तेव्हा मी कल्पना केली की लोक वर्ष कसे मोजतात. तर हे, उदाहरणार्थ, XNUMX वर्षे बीसी, नवीन वर्षाची संध्याकाळ येते आणि लोक आनंद करतात: फक्त XNUMX वर्षे बीसी! शेवटी “आपला युग” आला तेव्हा त्यांना किती आनंद झाला असेल! काही वर्षांपूर्वी आम्ही किती मैलाचा दगड अनुभवला!

तारखा आणि श्रेणी मोजण्याचे गणित ग्रहण, विशेषतः जटिल नाही, परंतु नियमिततेशी संबंधित सर्व प्रकारच्या घटकांनी भरलेले आहे आणि त्याहूनही वाईट म्हणजे, शरीराच्या कक्षीय हालचालींची असमानता. मला हे गणितही जाणून घ्यायला आवडेल. मिलेटसचे थेल्स आवश्यक गणना कशी करू शकतात? उत्तर सोपे आहे. तुमच्याकडे स्टार चार्ट असणे आवश्यक आहे. असा नकाशा कसा बनवायचा? हे देखील अवघड नाही, प्राचीन इजिप्शियन लोकांना ते कसे करावे हे माहित होते. मध्यरात्री, दोन पुजारी मंदिराच्या छतावर येतात. त्यांच्यापैकी प्रत्येकजण खाली बसतो आणि तो जे पाहतो ते काढतो (त्याच्या सहकाऱ्याप्रमाणे). दोन हजार वर्षांनंतर, आपल्याला ग्रहांच्या हालचालीबद्दल सर्व काही माहित आहे ...

सुंदर भूमिती, किंवा "गालिचा" वर मजा

ग्रीक लोकांना संख्या आवडत नव्हती; त्यांनी भूमितीचा अवलंब केला. हे आम्ही करणार आहोत. आमचे ग्रहण ते सोपे, रंगीबेरंगी, परंतु तितकेच मनोरंजक आणि वास्तविक असतील. निळा आकृती अशा प्रकारे फिरते की ती लाल रंगाला ग्रहण करते हा करार स्वीकारूया. निळ्या आकृतीला चंद्र आणि लाल आकृतीला सूर्य म्हणू. आम्ही स्वतःला खालील प्रश्न विचारू:

1. ग्रहण किती काळ टिकते?
2. जेव्हा लक्ष्याचा अर्धा भाग व्यापलेला असतो;

   तांदूळ. सूर्य आणि चंद्रासह 1 बहु-रंगीत "कार्पेट".

3. कमाल कव्हरेज काय आहे;
4. शील्ड कव्हरेजच्या अवलंबनाचे वेळेवर विश्लेषण करणे शक्य आहे का? या लेखात (मी मजकूराच्या लांबीने मर्यादित आहे) मी दुसऱ्या प्रश्नावर लक्ष केंद्रित करेन. त्यामागे काही छान भूमिती आहे, कदाचित कंटाळवाण्या गणनेशिवाय. चला अंजीर पाहू. 1. आपण असे गृहीत धरू शकतो की ते सूर्यग्रहण... शी संबंधित असेल?

मी प्रामाणिकपणे सांगू इच्छितो की मी ज्या कार्यांवर चर्चा करेन ते विशेषतः निवडले जातील आणि मध्यम आणि उच्च माध्यमिक विद्यार्थ्यांच्या ज्ञान आणि कौशल्यांशी जुळवून घेतले जातील. पण आम्ही स्केल्स वाजवणारे संगीतकार आणि सामान्य विकासात्मक व्यायाम करणारे खेळाडू यासारख्या कामांवर प्रशिक्षण घेतो. याशिवाय, तो फक्त एक सुंदर गालिचा (आकृती 1) नाही का?

तांदूळ. 2 "निळा" चंद्र आणि "लाल" सूर्य

आमचे आकाशीय पिंड, किमान सुरुवातीला, रंगीत चौरस असतील. चंद्र निळा आहे, सूर्य लाल आहे (रंगासाठी सर्वोत्तम). वर्तमानासह ग्रहण चंद्र आकाशात सूर्याचा पाठलाग करतो, पकडतो... आणि त्याला झाकतो. आमच्या बाबतीतही असेच होईल. अंजीर मध्ये दाखवल्याप्रमाणे चंद्र सूर्याच्या सापेक्ष फिरतो तेव्हा सर्वात सोपा केस आहे. 2. चंद्राच्या डिस्कची धार जेव्हा सूर्याच्या डिस्कच्या (चित्र 2) काठाला स्पर्श करते तेव्हा ग्रहण सुरू होते आणि जेव्हा ते त्याच्या पलीकडे जाते तेव्हा समाप्त होते.

तांदूळ. 3 चंद्र तिरपे सूर्याजवळ येतो

आम्ही असे गृहीत धरतो की "चंद्र" वेळेच्या प्रति युनिट एक चौरस हलवतो, उदाहरणार्थ, प्रति मिनिट. नंतर ग्रहण आठ युनिट्सपर्यंत टिकते, म्हणजे मिनिटे. अर्धा सूर्यग्रहण पूर्णपणे अंधार झाला. डायलचा अर्धा भाग दोनदा बंद होतो: 2 आणि 6 मिनिटांनंतर. अंधाराच्या टक्केवारीचा आलेख साधा आहे. पहिल्या दोन मिनिटांदरम्यान, शील्ड शून्य ते 1 च्या दराने समान रीतीने बंद होते आणि पुढील दोन मिनिटांसाठी ते त्याच दराने उघडते.

येथे एक अधिक मनोरंजक उदाहरण आहे (चित्र 3). चंद्र तिरपे सूर्याजवळ येतो. आमच्या प्रति-मिनिट करारानुसार, ग्रहण 8√ टिकते2 मिनिटे - या वेळेच्या मध्यभागी आपल्याकडे संपूर्ण ग्रहण आहे. टाईम t नंतर सूर्याचा कोणता भाग झाकलेला आहे याची गणना करूया (चित्र 3). जर ग्रहण सुरू झाल्यापासून टी मिनिटे निघून गेली असतील आणि परिणामी चंद्र अंजीर मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे असेल. 5, मग (लक्ष द्या!) म्हणून झाकलेले (एपीक्यूआर स्क्वेअरचे क्षेत्रफळ), अर्ध्या सौर डिस्कच्या बरोबरीने झाकले जाते तेव्हा, म्हणजे 4 मिनिटांत (नंतर ग्रहण संपण्यापूर्वी 4 मिनिटे).

तांदूळ. 4 “शेडिंग” फंक्शनचा आलेख

संपूर्णता एक क्षण टिकतो (t = 4√2), आणि "छायांकित भाग" फंक्शनच्या आलेखामध्ये दोन पॅराबॉलिक आर्क्स असतात (चित्र 4).

आमचा निळा चंद्र लाल सूर्यासह कोपऱ्याला स्पर्श करेल, परंतु तो त्यास झाकून टाकेल, तिरपे जाणार नाही, परंतु किंचित तिरपे आहे. जेव्हा आपण चळवळ थोडीशी गुंतागुंतीची करतो तेव्हा मनोरंजक भूमिती दिसून येते (चित्र 6). हालचालीची दिशा आता वेक्टर आहे [4,3], म्हणजे, "चार पेशी उजवीकडे, तीन पेशी वर." सूर्याची स्थिती अशी आहे की जेव्हा “खगोलीय पिंडांच्या” बाजू त्यांच्या लांबीच्या एक चतुर्थांश भागापर्यंत एकत्रित होतात तेव्हा ग्रहण सुरू होते (स्थिती A). जेव्हा चंद्र B स्थानावर जाईल तेव्हा तो सूर्याच्या एक षष्ठांश भागास ग्रहण करेल आणि C स्थानावर ते अर्धे ग्रहण करेल. डी स्थितीत आपल्याकडे संपूर्ण ग्रहण आहे आणि नंतर सर्व काही "जसे होते तसे" होते.

तांदूळ. सूर्याचा 5 भाग टी दरम्यान लपलेला

जेव्हा चंद्र G स्थितीत असतो तेव्हा ग्रहण संपते. ते जोपर्यंत टिकते विभाग लांबी AG. जर, पूर्वीप्रमाणेच, चंद्र ज्या वेळेत "एक चौरस" जातो तो वेळ वेळेचे एकक म्हणून घेतो, तर AG ची लांबी समान असते. आपली खगोलीय पिंड 4 बाय 4 आहेत या जुन्या प्रथेकडे परत गेलो तर परिणाम वेगळा असेल (काय?). सहज दर्शविल्याप्रमाणे, लक्ष्य t < 15 नंतर बंद केले जाते. "स्क्रीन कव्हरेजची टक्केवारी" कार्याचा आलेख अंजीर मध्ये पाहिला जाऊ शकतो. 6.

तांदूळ. 6 "संरक्षणाची टक्केवारी" कार्याचा आलेख

ग्रहण आणि उडी समीकरण

तांदूळ. 7 अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या ग्रहण दरम्यान सौर डिस्कचा अडथळा. 6

जर आपण वर्तुळांच्या बाबतीत विचार केला नाही तर ग्रहणांची समस्या अपूर्ण असेल. हे अधिक क्लिष्ट आहे, परंतु एक वर्तुळ दुसर्‍या वर्तुळाच्या अर्ध्या भागाला कधी ग्रहण करते ते शोधण्याचा प्रयत्न करूया - आणि सर्वात सोप्या बाबतीत, जेव्हा त्यापैकी एक दोघांना जोडणाऱ्या व्यासाच्या बाजूने फिरते. रेखाचित्र कोणत्याही क्रेडिट कार्ड धारकांना परिचित आहे.

फील्डच्या स्थितीची गणना करणे जटिल आहे, कारण त्यासाठी प्रथम, वर्तुळाकार विभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्राचे ज्ञान आवश्यक आहे, दुसरे म्हणजे, कोनाच्या कमानाचे ज्ञान आणि तिसरे म्हणजे (आणि सर्वात वाईट) क्षमता. एक विशिष्ट उडी समीकरण सोडवण्यासाठी. "संक्रामक समीकरण" म्हणजे काय हे मी स्पष्ट करणार नाही; एक उदाहरण पाहू (चित्र 8).

तांदूळ. 8 "गोलाकार" ग्रहण

वर्तुळाकार विभाग हा “वाडगा” असतो जो वर्तुळ सरळ रेषेत कापल्यावर शिल्लक राहतो. अशा विभागाचे क्षेत्रफळ S = 1/2r आहे²(φ-sinφ), जेथे r ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे आणि φ हा मध्य कोन आहे ज्यावर सेगमेंट स्थिर आहे (चित्र 8). गोलाकार क्षेत्राच्या क्षेत्रातून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ वजा करून हे सहज मिळवता येते.

भाग ओ₁O₂ (वर्तुळांच्या केंद्रांमधील अंतर) नंतर 2rcosφ/2, आणि उंची (रुंदी, “कंबर”) h = 2rsinφ/2 आहे. म्हणून, जर आपल्याला चंद्र सौर डिस्कचा अर्धा भाग कधी व्यापेल याची गणना करायची असेल, तर आपल्याला हे समीकरण सोडवावे लागेल: जे, सरलीकरणानंतर, फॉर्म घेते:

तांदूळ. दोन कार्यांचे 9 आलेख

अशी समीकरणे सोडवणे साध्या बीजगणिताच्या पलीकडे जाते - समीकरणामध्ये दोन्ही कोन आणि त्यांची त्रिकोणमितीय कार्ये समाविष्ट असतात. हे समीकरण पारंपारिक पद्धतींच्या आवाक्याबाहेर जाते. म्हणूनच त्याला म्हणतात उडी. प्रथम दोन्ही फंक्शन्स म्हणजेच फंक्शन्स आणि फंक्शन्सचे आलेख पाहू या. या आकृतीवरून आपण अंदाजे उपाय वाचू शकतो. तथापि, आम्ही पुनरावृत्ती पद्धत वापरून अंदाजे मिळवू शकतो किंवा... एक्सेल स्प्रेडशीटमधील सॉल्व्हर पर्याय वापरू शकतो. प्रत्येक हायस्कूलच्या विद्यार्थ्याने हे करू शकले पाहिजे, कारण हे 20 वे शतक आहे. मी एक अधिक क्लिष्ट गणिती साधन वापरले, आणि येथे आमचे निराकरण आहे अनावश्यक दशांश अचूक स्थानांसह:

सेट प्रिसिजन[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

तांदूळ. 10 मटेमेटिका मध्ये ग्रहण अॅनिमेशन

आपण हे 180/π ने गुणाकार करून अंशांमध्ये रूपांतरित करतो. आपल्याला 132 अंश, 20 मिनिटे, 45 आणि चाप सेकंदाचा एक चतुर्थांश मिळतो. वर्तुळाच्या केंद्रापर्यंतचे अंतर O आहे याची गणना करू₁O₂ = 0,808 त्रिज्या, आणि “कंबर” 2,310.