उलट आकर्षण
केवळ गणितातच नाही तर "विरोधकांच्या मोहिनी" बद्दल खूप चर्चा आहे. लक्षात ठेवा की विरुद्ध संख्या अशा आहेत ज्या फक्त चिन्हामध्ये भिन्न आहेत: अधिक 7 आणि वजा 7. विरुद्ध संख्यांची बेरीज शून्य आहे. परंतु आमच्यासाठी (म्हणजे गणितज्ञ) परस्परसंबंध अधिक मनोरंजक आहेत. जर संख्यांचा गुणाकार 1 असेल, तर या संख्या एकमेकांच्या व्यस्त असतील. प्रत्येक संख्येचा विरुद्ध असतो, शून्य नसलेल्या प्रत्येक संख्येचा व्यस्त असतो. पारस्परिक चे परस्पर बीज आहे.
जेथे दोन परिमाण एकमेकांशी संबंधित असतात तेथे उलथापालथ घडते जेणेकरून एक वाढल्यास, इतर समान दराने कमी होते. "संबंधित" म्हणजे या प्रमाणांचे उत्पादन बदलत नाही. आम्हाला शाळेपासून आठवते: हे एक व्यस्त प्रमाण आहे. जर मला माझ्या गंतव्यस्थानावर दुप्पट वेगाने पोहोचायचे असेल (म्हणजेच वेळ अर्धा करावा), तर मला माझा वेग दुप्पट करावा लागेल. जर गॅस असलेल्या सीलबंद जहाजाचे प्रमाण n पटीने कमी केले तर त्याचा दाब n पटीने वाढेल.
प्राथमिक शिक्षणामध्ये, आम्ही विभेदक आणि सापेक्ष तुलना यांच्यात काळजीपूर्वक फरक करतो. "आणखी किती"? - "किती वेळा आणखी?"
येथे काही शालेय उपक्रम आहेत:
कार्य 1. दोन सकारात्मक मूल्यांपैकी, पहिले दुसऱ्यापेक्षा 5 पट मोठे आणि त्याच वेळी पहिल्यापेक्षा 5 पट मोठे आहे. परिमाणे काय आहेत?
कार्य 2. जर एक संख्या दुसऱ्या पेक्षा 3 मोठी असेल आणि दुसरी संख्या तिसऱ्या पेक्षा 2 मोठी असेल, तर पहिली संख्या तिसऱ्या पेक्षा किती मोठी असेल? जर पहिली सकारात्मक संख्या दुसऱ्याच्या दुप्पट असेल आणि पहिली संख्या तिसऱ्याच्या तीन पट असेल, तर पहिली संख्या तिसऱ्यापेक्षा किती पटीने मोठी असेल?
कार्य 3. कार्य 2 मध्ये, फक्त नैसर्गिक संख्यांना परवानगी आहे. तेथे वर्णन केल्याप्रमाणे अशी व्यवस्था शक्य आहे का?
कार्य 4. दोन सकारात्मक मूल्यांपैकी, पहिले दुसऱ्याच्या 5 पट आणि दुसरे पहिल्याच्या 5 पट आहे. ते शक्य आहे का?
"सरासरी" किंवा "सरासरी" ही संकल्पना अगदी सोपी वाटते. जर मी सोमवारी 55 किमी, मंगळवारी 45 किमी आणि बुधवारी 80 किमी सायकल चालवली, तर मी दररोज सरासरी 60 किमी सायकल चालवतो. आम्ही या गणनेशी मनापासून सहमत आहोत, जरी ते थोडे विचित्र आहेत कारण मी एका दिवसात 60 किमी चालवलेले नाही. आम्ही एखाद्या व्यक्तीचे शेअर्स अगदी सहज स्वीकारतो: जर दोनशे लोक सहा दिवसांत रेस्टॉरंटला भेट देतात, तर सरासरी दैनिक दर 33 आणि एक तृतीयांश लोक आहे. हम्म!
फक्त सरासरी आकारात समस्या आहेत. मला सायकल चालवायला आवडते. म्हणून मी ट्रॅव्हल एजन्सीच्या ऑफरचा फायदा घेतला "चला आमच्यासोबत" - ते हॉटेलमध्ये सामान वितरीत करतात, जिथे क्लायंट मनोरंजनाच्या उद्देशाने सायकल चालवतो. शुक्रवारी मी चार तास गाडी चालवली: पहिले दोन ताशी 24 किमी वेगाने. मग मी इतका थकलो की पुढच्या दोनसाठी फक्त 16 प्रति तास दराने. माझा सरासरी वेग किती होता? अर्थात (24+16)/2=20km=20km/ता.
शनिवारी मात्र सामान हॉटेलवरच राहून गेले आणि २४ किमी दूर असलेल्या वाड्याचे अवशेष बघायला गेलो आणि ते पाहून परत आलो. मी तासभर एका दिशेने गाडी चालवली, 24 किमी प्रतितास वेगाने अधिक हळू परत आलो. हॉटेल-किल्ला-हॉटेल मार्गावर माझा सरासरी वेग किती होता? 16 किमी प्रति तास? नक्कीच नाही. शेवटी, मी एकूण ४८ किमी चालवले आणि मला एक तास (“तिथे”) आणि दीड तास मागे लागला. अडीच तासात 20 किमी, म्हणजे. तास ४८/२.५=१९२/१०=१९.२ किमी! या स्थितीत, सरासरी वेग हा अंकगणितीय सरासरी नसून दिलेल्या मूल्यांचा हार्मोनिक आहे:
आणि हे द्वि-कथा सूत्र खालीलप्रमाणे वाचले जाऊ शकते: सकारात्मक संख्यांचा हार्मोनिक मीन हा त्यांच्या परस्परसंख्येच्या अंकगणितीय सरासरीचा परस्पर आहे. परस्परांच्या बेरजेचा परस्परसंवाद शाळेच्या असाइनमेंटच्या अनेक सुरांमध्ये दिसून येतो: जर एक कामगार तास खोदतो, तर दुसरा - बी तास, नंतर, एकत्र काम करून, ते वेळेवर खोदतात. पाण्याचा तलाव (एक प्रति तास, दुसरा b तासांनी). जर एका रेझिस्टरमध्ये R1 असेल आणि दुसऱ्यामध्ये R2 असेल, तर त्यांना समांतर रेझिस्टन्स असतो.
जर एक संगणक सेकंदात समस्या सोडवू शकतो, तर दुसरा संगणक b सेकंदात, मग जेव्हा ते एकत्र काम करतात...
थांबा! येथे समानता संपते, कारण सर्वकाही नेटवर्कच्या गतीवर अवलंबून असते: कनेक्शनची कार्यक्षमता. कामगार एकमेकांना अडथळा आणू शकतात किंवा मदत करू शकतात. जर एक माणूस आठ तासांत विहीर खणू शकतो, तर ऐंशी कामगार ते एका तासाच्या 1/10 (किंवा 6 मिनिटांत) करू शकतात? जर सहा पोर्टर 6 मिनिटांत पियानो पहिल्या मजल्यावर घेऊन जातात, तर त्यापैकी एकाला पियानो साठव्या मजल्यावर पोहोचवायला किती वेळ लागेल? अशा समस्यांच्या मूर्खपणामुळे "आयुष्यातील" समस्यांसाठी सर्व गणिताची मर्यादित लागूता लक्षात येते.
संपूर्ण विक्रेत्याबद्दल
तराजू आता वापरल्या जात नाहीत. आठवते की अशा तराजूच्या एका वाटीवर वजन ठेवलेले असते आणि तोलून घेतलेला माल दुसर्‍यावर ठेवला जात असे आणि जेव्हा वजन समतोल होते तेव्हा मालाचे वजन जेवढे होते तेवढेच होते. अर्थात, वजनाच्या दोन्ही हातांची लांबी समान असणे आवश्यक आहे, अन्यथा वजन चुकीचे असेल.
हा बरोबर. एका विक्रेत्याची कल्पना करा ज्याचे वजन असमान लीव्हरेजसह आहे. तथापि, त्याला ग्राहकांशी प्रामाणिक राहायचे आहे आणि दोन बॅचमध्ये मालाचे वजन करायचे आहे. प्रथम, तो एका तव्यावर वजन ठेवतो आणि दुसर्‍यावर समान प्रमाणात वस्तू ठेवतो - जेणेकरून तराजू समतोल राहतील. मग तो मालाच्या दुसऱ्या "अर्ध्या" चे उलट क्रमाने वजन करतो, म्हणजेच तो वजन दुसऱ्या भांड्यावर ठेवतो आणि माल पहिल्यावर ठेवतो. हात असमान असल्याने, "अर्ध्या" कधीही समान नसतात. आणि विक्रेत्याची विवेकबुद्धी स्पष्ट आहे, आणि खरेदीदार त्याच्या प्रामाणिकपणाची प्रशंसा करतात: "मी येथे काय काढले, मी नंतर जोडले."
तथापि, एका विक्रेत्याचे वर्तन जवळून बघूया जो अनिश्चित वजन असूनही प्रामाणिक राहू इच्छितो. बॅलन्सच्या हातांची लांबी a आणि b असू द्या. जर एक वाटी एक किलोग्रॅम वजनाने आणि दुसरी x मालाने भरलेली असेल, तर ax = b पहिल्यांदा आणि bx = a दुसऱ्यांदा असल्यास स्केल समतोल राखतात. तर, मालाचा पहिला भाग b/a किलोग्रॅम इतका आहे, दुसरा भाग a/b आहे. चांगले वजन a = b आहे, त्यामुळे खरेदीदाराला 2 किलो माल मिळेल. ≠ b तेव्हा काय होते ते पाहू. नंतर a – b ≠ 0 आणि कमी केलेल्या गुणाकार सूत्रावरून आपल्याकडे आहे
आम्ही एका अनपेक्षित परिणामावर आलो: या प्रकरणात मोजमाप "सरासरी" करण्याची उशिर वाजवी पद्धत खरेदीदाराच्या फायद्यासाठी कार्य करते, ज्याला अधिक माल मिळतो.
कार्य २. (महत्त्वाचे, गणितात नाही!). एका डासाचे वजन २.५ मिलिग्रॅम असते आणि हत्तीचे पाच टन (हा डेटा अगदी बरोबर आहे). मच्छर आणि हत्तींच्या वस्तुमानाचे (वजन) अंकगणितीय माध्य, भौमितिक माध्य आणि हार्मोनिक माध्य यांची गणना करा. गणिते तपासा आणि अंकगणिताच्या व्यायामाव्यतिरिक्त त्यांना काही अर्थ आहे का ते पहा. चला गणितीय गणनेची इतर उदाहरणे पाहू ज्यांना "वास्तविक जीवनात" अर्थ नाही. टीप: आम्ही या लेखातील एक उदाहरण आधीच पाहिले आहे. याचा अर्थ असा होतो का की एक निनावी विद्यार्थ्याचे मत ज्याचे मला इंटरनेटवर आढळले ते बरोबर होते: “गणित लोकांना संख्येने मूर्ख बनवते”?
होय, मी सहमत आहे की गणिताच्या भव्यतेमध्ये, आपण लोकांना "मूर्ख" बनवू शकता - प्रत्येक दुसर्या शॅम्पूच्या जाहिरातीमध्ये असे म्हटले जाते की ते काही टक्के फुगवटा वाढवते. गुन्हेगारी कृत्यांसाठी वापरल्या जाणार्‍या उपयुक्त दैनंदिन साधनांची इतर उदाहरणे आपण शोधू का?
ग्रॅम!
या परिच्छेदाचे शीर्षक क्रियापद आहे (प्रथम व्यक्ती अनेकवचनी) संज्ञा नाही (किलोग्रामच्या हजारव्या भागाचे नामांकित बहुवचन). सुसंवाद म्हणजे सुव्यवस्था आणि संगीत. प्राचीन ग्रीक लोकांसाठी, संगीत ही विज्ञानाची एक शाखा होती - हे मान्य केले पाहिजे की जर आपण असे म्हटले तर आपण "विज्ञान" या शब्दाचा वर्तमान अर्थ आमच्या युगाच्या आधीच्या काळात हस्तांतरित करतो. पायथागोरस BC XNUMX व्या शतकात जगला. त्याला केवळ संगणक, मोबाइल फोन आणि ईमेल माहित नव्हते, परंतु रॉबर्ट लेवांडोव्स्की, मिझ्को I, शारलेमेन आणि सिसेरो कोण होते हे देखील त्याला माहित नव्हते. त्याला अरबी किंवा अगदी रोमन अंक माहित नव्हते (ते XNUMX व्या शतकाच्या आसपास वापरात आले होते), त्याला प्युनिक युद्धे काय आहेत हे माहित नव्हते ... परंतु त्याला संगीत माहित होते ...
त्याला माहीत होते की तंतुवाद्यांवर कंपनाचे गुणांक तारांच्या कंपन करणाऱ्या भागांच्या लांबीच्या व्यस्त प्रमाणात असतात. त्याला माहीत होते, त्याला माहीत होते, आज आपण जसे करतो तसे तो व्यक्त करू शकत नाही.
अष्टक बनवणार्‍या दोन स्ट्रिंग कंपनांची वारंवारता 1:2 च्या प्रमाणात असते, म्हणजेच उच्च नोटची वारंवारता खालच्या कंपनाच्या दुप्पट असते. पाचव्यासाठी योग्य कंपन प्रमाण 2:3 आहे, चौथ्यासाठी 3:4 आहे, शुद्ध प्रमुख तृतीय 4:5 आहे, किरकोळ तृतीय 5:6 आहे. हे आनंददायी व्यंजन मध्यांतर आहेत. नंतर दोन तटस्थ आहेत, कंपन गुणोत्तर 6:7 आणि 7:8, नंतर असंतुष्ट आहेत - एक मोठा टोन (8:9), एक लहान टोन (9:10). हे अपूर्णांक (गुणोत्तर) एका क्रमाच्या क्रमिक सदस्यांच्या गुणोत्तरांसारखे असतात ज्याला गणितज्ञ (याच कारणासाठी) हार्मोनिक मालिका म्हणतात:
सैद्धांतिकदृष्ट्या अनंत बेरीज आहे. अष्टकाच्या दोलनांचे प्रमाण 2:4 असे लिहिता येईल आणि त्यांच्यामध्ये पाचवा ठेवा: 2:3:4, म्हणजेच आपण अष्टक पाचव्या आणि चौथ्यामध्ये विभागू. याला गणितात हार्मोनिक सेगमेंट डिव्हिजन म्हणतात:
तांदूळ. 1. संगीतकारासाठी: अष्टक AB ला पाचव्या AC मध्ये विभाजित करणे.गणितज्ञांसाठी: हार्मोनिक सेगमेंटेशन
जेव्हा मी सैद्धांतिकदृष्ट्या अनंत बेरीज बोलतो तेव्हा मला काय म्हणायचे आहे, जसे की हार्मोनिक मालिका? असे दिसून आले की अशी बेरीज कोणतीही मोठी संख्या असू शकते, मुख्य गोष्ट अशी आहे की आम्ही बर्याच काळासाठी जोडतो. तेथे कमी आणि कमी घटक आहेत, परंतु त्यापैकी अधिक आणि अधिक आहेत. काय प्रचलित आहे? येथे आपण गणितीय विश्लेषणाच्या क्षेत्रात प्रवेश करतो. असे दिसून आले की घटक कमी झाले आहेत, परंतु फार लवकर नाही. मी दाखवीन की पुरेसे घटक घेऊन, मी बेरीज करू शकतो:
अनियंत्रितपणे मोठे. चला "उदाहरणार्थ" n = 1024 घेऊ. चित्रात दाखवल्याप्रमाणे शब्दांचे गट करू:
प्रत्येक कंसात, प्रत्येक शब्द मागील शब्दापेक्षा मोठा आहे, अर्थातच, शेवटचा शब्द वगळता, जो स्वतः समान आहे. खालील कंसात, आपल्याकडे 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 आणि 512 घटक आहेत; प्रत्येक कंसातील बेरजेचे मूल्य ½ पेक्षा जास्त आहे. हे सर्व 5½ पेक्षा जास्त आहे. अधिक अचूक गणना दर्शवेल की ही रक्कम अंदाजे 7,50918 आहे. जास्त नाही, पण नेहमी, आणि तुम्ही बघू शकता की n कितीही मोठा घेऊन, मी कोणत्याही संख्येला मागे टाकू शकतो. हे आश्चर्यकारकपणे मंद आहे (उदाहरणार्थ, आम्ही केवळ घटकांसह दहामध्ये शीर्षस्थानी आहोत), परंतु असीम वाढीने गणितज्ञांना नेहमीच मोहित केले आहे.
हार्मोनिक मालिकेसह अनंताचा प्रवास
येथे काही गंभीर गणिताचे कोडे आहे. आमच्याकडे आयताकृती ब्लॉक्सचा अमर्याद पुरवठा आहे (मी काय म्हणू, आयताकृती!) परिमाणांसह, 4 × 2 × 1. एका प्रणालीचा विचार करा ज्यामध्ये अनेक (चालू अंजीर 2 - चार) ब्लॉक्स, अशा प्रकारे व्यवस्था केलेले की पहिला त्याच्या लांबीच्या ½ ने झुकलेला असेल, दुसरा वरून ¼ आणि असेच, तिसरा एक सहावा. बरं, कदाचित ते खरोखर स्थिर करण्यासाठी, पहिली वीट थोडी कमी तिरपा करूया. गणनेसाठी काही फरक पडत नाही.
तांदूळ. 2. गुरुत्वाकर्षण केंद्र निश्चित करणे
हे समजणे देखील सोपे आहे की पहिल्या दोन ब्लॉक्सच्या (वरून मोजणी) बनलेल्या आकृतीमध्ये B बिंदूवर सममितीचे केंद्र आहे, तर B हे गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र आहे. तीन वरच्या ब्लॉक्सपासून बनलेल्या प्रणालीच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र भूमितीयदृष्ट्या परिभाषित करूया. येथे एक अतिशय साधा युक्तिवाद पुरेसा आहे. चला मानसिकदृष्ट्या तीन-ब्लॉक रचना दोन वरच्या आणि तिसऱ्या खालच्यामध्ये विभाजित करूया. हे केंद्र दोन भागांच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्रांना जोडणार्‍या विभागात असले पाहिजे. या एपिसोडमध्ये कोणत्या टप्प्यावर?
नियुक्त करण्याचे दोन मार्ग आहेत. पहिल्यामध्ये, हे केंद्र तीन-ब्लॉकच्या पिरॅमिडच्या मध्यभागी, म्हणजेच दुसऱ्या, मधल्या ब्लॉकला छेदणाऱ्या सरळ रेषेवर असले पाहिजे हे निरीक्षण आपण वापरू. दुस-या मार्गाने, आम्ही समजतो की दोन शीर्ष ब्लॉक्सचे एकूण वस्तुमान एकाच ब्लॉक #3 (शीर्षस्थानी) च्या दुप्पट असल्यामुळे, या विभागावरील गुरुत्वाकर्षण केंद्र B च्या दुप्पट जवळ असणे आवश्यक आहे. तिसऱ्या ब्लॉकच्या एस. त्याचप्रमाणे, आम्हाला पुढील बिंदू सापडतो: आम्ही तीन ब्लॉक्सचे सापडलेले केंद्र चौथ्या ब्लॉकच्या केंद्र एस सह जोडतो. संपूर्ण प्रणालीचे केंद्र 2 उंचीवर आहे आणि त्या बिंदूवर आहे जे सेगमेंटला 1 ते 3 ने विभाजित करते (म्हणजे त्याच्या लांबीच्या ¾ ने).
आम्ही थोडे पुढे करणार आहोत ती गणना अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या निकालाकडे नेईल. अंजीर 3. खालच्या ब्लॉकच्या उजव्या काठावरुन गुरुत्वाकर्षणाची सलग केंद्रे काढून टाकली जातात:
अशा प्रकारे, पिरॅमिडच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या केंद्राचा प्रक्षेपण नेहमीच पायाच्या आत असतो. टॉवर कोसळणार नाही. आता बघूया अंजीर 3 आणि एका क्षणासाठी, वरच्या पाचव्या ब्लॉकचा आधार म्हणून वापर करूया (उजळ रंगाने चिन्हांकित केलेला). शीर्ष कलते:
अशा प्रकारे, त्याची डावी धार पायाच्या उजव्या काठापेक्षा 1 पुढे आहे. येथे पुढील स्विंग आहे:
सर्वात मोठा स्विंग काय आहे? आम्हाला आधीच माहित आहे! कोणीही श्रेष्ठ नाही! अगदी लहान ब्लॉक्स देखील घेतल्यास, आपण एक किलोमीटरचा ओव्हरहॅंग मिळवू शकता - दुर्दैवाने, केवळ गणिती: इतके ब्लॉक्स तयार करण्यासाठी संपूर्ण पृथ्वी पुरेसे नाही!
तांदूळ. 3. अधिक ब्लॉक्स जोडा
आता आपण वर सोडलेली गणना. आपण x-अक्षावर सर्व अंतरांची "क्षैतिजरित्या" गणना करू, कारण त्यात एवढेच आहे. पॉइंट A (पहिल्या ब्लॉकच्या गुरुत्वाकर्षणाचे केंद्र) उजव्या काठावरुन 1/2 आहे. पॉइंट बी (दोन ब्लॉक सिस्टमचे केंद्र) दुसऱ्या ब्लॉकच्या उजव्या काठापासून 1/4 दूर आहे. सुरुवातीचा बिंदू दुसऱ्या ब्लॉकचा शेवट असू द्या (आता आपण तिसऱ्याकडे जाऊ). उदाहरणार्थ, सिंगल ब्लॉक #3 चे गुरुत्वाकर्षण केंद्र कुठे आहे? या ब्लॉकची अर्धी लांबी, म्हणून, ती आमच्या संदर्भ बिंदूपासून 1/2 + 1/4 = 3/4 आहे. बिंदू C कुठे आहे? 3/4 आणि 1/4 मधील दोन तृतीयांश विभागांमध्ये, म्हणजे आधीच्या बिंदूवर, आम्ही संदर्भ बिंदू तिसऱ्या ब्लॉकच्या उजव्या काठावर बदलतो. थ्री-ब्लॉक सिस्टीमचे गुरुत्वाकर्षण केंद्र आता नवीन संदर्भ बिंदूपासून काढून टाकले आहे, आणि असेच. गुरुत्वाकर्षण केंद्र Cn n ब्लॉक्सचा बनलेला टॉवर तात्काळ संदर्भ बिंदूपासून 1/2n दूर आहे, जो बेस ब्लॉकचा उजवा किनारा आहे, म्हणजे वरच्या बाजूचा nवा ब्लॉक.
परस्परांची मालिका भिन्न असल्याने, आम्हाला कोणतेही मोठे फरक मिळू शकतात. याची प्रत्यक्षात अंमलबजावणी होऊ शकेल का? हे अंतहीन वीट टॉवरसारखे आहे - लवकरच किंवा नंतर ते स्वतःच्या वजनाखाली कोसळेल. आमच्या योजनेमध्ये, ब्लॉक प्लेसमेंटमधील किमान अयोग्यता (आणि मालिकेच्या आंशिक बेरजेमध्ये मंद वाढ) म्हणजे आम्ही फार दूर जाणार नाही.
